24.3: Ejemplos trabajados

Ejemplo 24.1 Varilla oscilante

Un péndulo físico consiste en una varilla uniforme de longitud d y masa m pivotada en un extremo. El péndulo se desplaza inicialmente hacia un lado por un pequeño ángulo\(\theta_{0}\) y se libera del reposo con\(\theta_{0}<<1\). Encuentra el periodo del péndulo. Determinar el periodo del péndulo utilizando (a) el método de torque y (b) el método de energía.

Figura 24.3 Varilla oscilante

(a) Método de Torque: con nuestra elección del sistema de coordenadas rotacionales la aceleración angular viene dada por

\[\vec{\alpha}=\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

El diagrama de fuerza sobre el péndulo se muestra en la Figura 24.4. En particular, existe una fuerza de pivote desconocida y la fuerza gravitacional actúa en el centro de masa de la varilla.

Figura 24.4 Diagrama de fuerza de cuerpo libre en la varilla

El par sobre el punto de pivote P viene dado por

\[\overrightarrow{\mathfrak{\tau}}_{P}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{cm}} \times m \overrightarrow{\mathrm{g}} \nonumber \]

La varilla es uniforme, por lo tanto el centro de masa está a una distancia d/2 del punto de pivote. La fuerza gravitacional actúa en el centro de masa, por lo que el par alrededor del punto de pivote P viene dado por

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P}=(d / 2) \hat{\mathbf{r}} \times m g(-\sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+\cos \hat{\mathbf{r}})=-(d / 2) m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

La ecuación rotacional de movimiento alrededor de P es entonces

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}_{P}=I_{P} \overrightarrow{\boldsymbol{\alpha}} \nonumber \]

Sustituyendo las ecuaciones (24.3.3) y (24.3.1) en la ecuación (24.3.4) rendimientos

\[-(d / 2) m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}}=I_{P} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Cuando el ángulo de oscilación es pequeño, podemos usar la aproximación de ángulo pequeño\(\sin \theta \cong \theta\), luego la Ecuación (24.3.5) se convierte en

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{(d / 2) m g}{I_{P}} \theta \simeq 0 \nonumber \]

que es una simple ecuación de oscilador armónico. La frecuencia angular de pequeñas oscilaciones para el péndulo es

\[\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{(d / 2) m g}{I_{P}}} \nonumber \]

El momento de inercia de una varilla alrededor del punto final P es,\(I_{P}=(1 / 3) m d^{2}\) por lo tanto, la frecuencia angular es

\[\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{(d / 2) m g}{(1 / 3) m d^{2}}}=\sqrt{\frac{(3 / 2) g}{d}} \nonumber \]

con periodo

\[T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{2}{3} \frac{d}{g}} \nonumber \]

b) Método Energético: Tomar el punto cero de la energía potencial gravitacional para ser el punto donde el centro de masa del péndulo se encuentra en su punto más bajo (Figura 24.5), es decir,\(\theta=0\)

Figura 24.5 Diagrama de energía para varilla

Cuando el péndulo está en un ángulo θ, la energía potencial es

\[U=m g \frac{d}{2}(1-\cos \theta) \nonumber \]

La energía cinética de rotación alrededor del punto de pivote es

\[K^{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I_{p} \omega_{z}^{2} \nonumber \]

La energía mecánica es entonces

\[E=U+K^{\mathrm{rot}}=m g \frac{d}{2}(1-\cos \theta)+\frac{1}{2} I_{p} \omega_{z}^{2} \nonumber \]

con\(I_{P}=(1 / 3) m d^{2}\). No hay fuerzas no conservadoras que actúen (por suposición), por lo que la energía mecánica es constante, y por lo tanto la derivada temporal de la energía es cero,

\[0=\frac{d E}{d t}=m g \frac{d}{2} \sin \theta \frac{d \theta}{d t}+I_{p} \omega_{z} \frac{d \omega_{z}}{d t} \nonumber \]

\(\text { Recall that } \omega_{z}=d \theta / d t \text { and } \alpha_{z}=d \omega_{z} / d t=d^{2} \theta / d t^{2}\), así que la Ecuación (24.3.13) se convierte en

\[0=\omega_{z}\left(m g \frac{d}{2} \sin \theta+I_{p} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\right) \nonumber \]

Hay dos soluciones\(\omega_{z}=0\), en cuyo caso la varilla permanece en la parte inferior del columpio,

\[0=m g \frac{d}{2} \sin \theta+I_{p} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]

Usando la aproximación de ángulo pequeño, obtenemos la ecuación del oscilador armónico simple (Ecuación (24.3.6))

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{m g(d / 2)}{I_{p}} \theta \simeq 0 \nonumber \]

Ejemplo 24.3 Oscilador Torsional

Un disco con momento de inercia alrededor del centro de masa\(I_{\mathrm{cm}}\) gira en un plano horizontal. Está suspendido por una varilla delgada y sin masa. Si el disco es girado alejándose de su posición de equilibrio en un ángulo θ, la varilla ejerce un par restaurador alrededor del centro del disco con magnitud dada por\(\tau_{\mathrm{cm}}=b \theta\) (Figura 24.6), donde b es una constante positiva. A t = 0, el disco se libera del reposo a un desplazamiento angular de\(\theta_{0}\). Encuentra la dependencia temporal posterior del desplazamiento angular\(\theta(t)\).

Figura 24.6 Ejemplo 24.3 con ángulo exagerado θ

Solución: Elija un sistema de coordenadas tal que\(\hat{\mathbf{k}}\) esté apuntando hacia arriba (Figura 24.6), luego la aceleración angular viene dada por

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\alpha}}=\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

El par alrededor del centro de masa se da en la declaración del problema como un par restaurador, por lo tanto

\[\vec{\tau}_{\mathrm{cm}}=-b \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

El componente z de la ecuación rotacional de movimiento es

\[-b \theta=I_{\mathrm{cm}} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]

Esta es una ecuación simple de oscilador armónico con solución

\[\theta(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \sin \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]

donde la frecuencia angular de oscilación viene dada por

\[\omega_{0}=\sqrt{b / I_{\mathrm{cm}}} \nonumber \]

El componente z de la velocidad angular viene dado por

\[\omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)=-\omega_{0} A \sin \left(\omega_{0} t\right)+\omega_{0} B \cos \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]

Las condiciones iniciales en\(t=0, \text { are } \theta(t=0)=A=\theta_{0}, \text { and }(d \theta / d t)(t=0)=\omega_{0} B=0\). Por lo tanto,

\[\theta(t)=\theta_{0} \cos (\sqrt{b / I_{\mathrm{cm}}} t) \nonumber \]

Ejemplo 24.4 Péndulo físico compuesto

Un péndulo físico compuesto consiste en un disco de radio R y masa\(m_{d}\) fijado al extremo de una varilla de masa\(m_{r}\) y longitud\(l\) (Figura 24.7a). a) Encontrar el periodo del péndulo. (b) ¿Cómo cambia el período si el disco está montado en la varilla mediante un rodamiento sin fricción para que sea perfectamente libre de girar?

Figura 24.7 (a) Ejemplo 24.4 (b) Diagrama de fuerza de cuerpo libre

Solución: Comenzamos por elegir las coordenadas. Dejar\(\hat{\mathbf{k}}\) ser normal al plano del movimiento del péndulo apuntando fuera del plano de la Figura 24.7b. Elija una variable de ángulo θ tal que la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj corresponda a un componente z positivo de la velocidad angular. Por lo tanto, un par que apunta a la página tiene un componente z negativo y un par que apunta hacia fuera de la página tiene un componente z positivo. El diagrama de fuerza de cuerpo libre en el péndulo también se muestra en la Figura 24.7b. En particular, existe una fuerza de pivote desconocida, la fuerza gravitacional que actúa en el centro de masa de la varilla, y la fuerza gravitacional que actúa en el centro de masa del disco. El par sobre el punto de pivote viene dado por

\[\overrightarrow{\mathbf{\tau}}_{P}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{cm}} \times m_{r} \overrightarrow{\mathbf{g}}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{disk}} \times m_{d} \overrightarrow{\mathbf{g}} \nonumber \]

Recordemos que el vector\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{P, \mathrm{cm}}\) apunta desde el punto de pivote hasta el centro de masa de la varilla a una\(l / 2\) distancia del pivote. El vector r apunta desde el punto de pivote hasta el centro de P, masa de disco del disco a distancia l del pivote. Los diagramas de par para la fuerza gravitacional sobre la varilla y el disco se muestran en la Figura 24.8. Ambos pares alrededor del pivote están en la\(\hat{\mathbf{k}}\) dirección negativa (hacia el plano de la Figura 24.8) y por lo tanto tienen componentes z negativos,

\[\overrightarrow{\mathbf{\tau}}_{P}=-\left(m_{r}(l / 2)+m_{d} l\right) g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Figura 24.8 Diagrama de par para (a) centro de masa, (b) disco

Para determinar el momento de inercia del péndulo compuesto rígido trataremos cada pieza por separado, la varilla uniforme de longitud d y el disco unido al extremo de la varilla. El momento de inercia sobre el punto de pivote P es la suma de los momentos de inercia de las dos piezas,

\[ I_{P}=I_{P, \text { rod }}+I_{P, \text { disc }} \nonumber \]

Calculamos el momento de inercia de una varilla alrededor del punto final P (Capítulo 16.3.3), con el resultado de que

\[I_{P, \mathrm{rod}}=\frac{1}{3} m_{r} l^{2} \nonumber \]

Podemos utilizar el teorema del eje paralelo para calcular el momento de inercia del disco alrededor del punto de pivote P,

\[I_{P, \text { disc }}=I_{\mathrm{cm}, \text { disc }}+m_{d} l^{2} \nonumber \]

Calculamos el momento de inercia de un disco alrededor del centro de masa (Ejemplo 16.3) y determinamos que

\[I_{\mathrm{cm}, \mathrm{disc}}=\frac{1}{2} m_{d} R^{2} \nonumber \]

El momento de inercia del sistema compuesto es entonces

\[I_{P}=\frac{1}{3} m_{r} l^{2}+m_{d} l^{2}+\frac{1}{2} m_{d} R^{2} \nonumber \]

Por lo tanto la ecuación rotacional de movimiento se convierte

\[-\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l \sin \theta \hat{\mathbf{k}}=\left(\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}\right) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Cuando el ángulo de oscilación es pequeño, podemos usar la aproximación de ángulo pequeño\(\sin \theta \simeq \theta\). Entonces la ecuación (24.3.31) se convierte en una simple ecuación de oscilador armónico,

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \simeq-\frac{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}} \theta \nonumber \]

La ecuación (24.3.32) describe el movimiento armónico simple con una frecuencia angular de oscilación cuando el disco se fija en su lugar dada por

\[\omega_{\text {fixed }}=\sqrt{\frac{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}}} \nonumber \]

El periodo es

\[T_{\text {fixed }}=\frac{2 \pi}{\omega_{\text {fired }}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}+(1 / 2) m_{d} R^{2}}{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}} \nonumber \]

(b) Si el disco no está fijado a la varilla, entonces no girará alrededor de su centro de masa a medida que el péndulo oscila. Por lo tanto, el momento de inercia del disco alrededor de su centro de masa no contribuye al momento de inercia del péndulo físico alrededor del punto de pivote. Observe que el péndulo ya no es un cuerpo rígido. El momento total de inercia se debe únicamente a que la varilla y el disco se tratan como un punto como objeto,

\[I_{P}=\frac{1}{3} m_{r} l^{2}+m_{d} l^{2} \nonumber \]

Por lo tanto, el período de oscilación viene dado por

\[T_{\text {fire }}=\frac{2 \pi}{\omega_{\text {free }}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{\left((1 / 3) m_{r}+m_{d}\right) l^{2}}{\left((1 / 2) m_{r}+m_{d}\right) g l}} \nonumber \]

Comparando la Ecuación (24.3.36) con la Ecuación (24.3.34), vemos que el periodo es menor cuando el disco está libre y no fijo. Desde una perspectiva energética podemos argumentar que cuando el disco está libre, no está rotando alrededor del centro de masa. Por lo tanto, más de la energía potencial gravitacional entra en el centro de masa de la energía cinética traslacional que cuando el disco está libre. De ahí que el centro de masa se mueva más rápido cuando el disco está libre por lo que completa un periodo es un tiempo más corto.