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24.2: Péndulo Físico

Última actualización

30 oct 2022
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- 24.1: Introducción a los Péndulos Físicos
- 24.3: Ejemplos trabajados

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Un péndulo físico consiste en un cuerpo rígido que se somete a rotación de eje fijo alrededor de un punto fijo $S$ (Figura 24.2).

La fuerza gravitacional actúa en el centro de masa del péndulo físico. Denote la distancia del centro de masa al punto de pivote $S$ por $l_{\mathrm{cm}}$ . El análisis de par es casi idéntico al péndulo simple. El par sobre el punto de pivote $S$ viene dado por

$\vec{\tau}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, \mathrm{cm}} \times m \overrightarrow{\mathrm{g}}=l_{\mathrm{cm}} \hat{\mathbf{r}} \times m g(\cos \theta \hat{\mathbf{r}}-\sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}})=-l_{\mathrm{cm}} m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber$

Siguiendo los mismos pasos que llevaron de la Ecuación (24.1.1) a la Ecuación (24.1.4), la ecuación rotacional para el péndulo físico es

$-m g l_{\mathrm{cm}} \sin \theta=I_{S} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber$

donde $I_{s}$ el momento de inercia sobre el punto de pivote $S$ . Al igual que con el péndulo simple, para ángulos pequeños $\sin \theta \approx \theta$ , la ecuación (24.2.2) se reduce a la ecuación del oscilador armónico simple

$\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \simeq-\frac{m g l_{\mathrm{cm}}}{I_{S}} \theta \nonumber$

La ecuación para el ángulo $\theta(t)$ viene dada por

$\theta(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \sin \left(\omega_{0} t\right) \nonumber$

donde la frecuencia angular viene dada por

$\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{m g l_{\mathrm{cm}}}{I_{S}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber$

y el periodo es

$T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{I_{S}}{m g l_{\mathrm{cm}}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber$

Sustituir el teorema del eje paralelo, $I_{S}=m l_{\mathrm{cm}}^{2}+I_{\mathrm{cm}}$ en la Ecuación (24.2.6) con el resultado de que

$T \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{l_{\mathrm{cm}}}{g}+\frac{I_{\mathrm{cm}}}{m g l_{\mathrm{cm}}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber$

Así, si el objeto es “pequeño” en el sentido de que $I_{\mathrm{cm}}<<m l_{\mathrm{c}}^{2}$ , las expresiones para el péndulo físico se reducen a las del péndulo simple. El componente z de la velocidad angular viene dado por

$\omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)=-\omega_{0} A \sin \left(\omega_{0} t\right)+\omega_{0} B \cos \left(\omega_{0} t\right) \nonumber$

Los coeficientes A y B se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales estableciendo t = 0 en las Ecuaciones (24.2.4) y (24.2.8) dando como resultado las condiciones que

\ [\ begin {array} {l}
A=\ theta (t=0)\ equiv\ theta_ {0}\\
B=\ frac {\ omega_ {z} (t=0)} {\ omega_ {0}}\ equiv\ frac {\ omega_ {z, 0}} {\ omega_ {0}}
\ end {nonarray}\ umber\]

Por lo tanto, las ecuaciones para el ángulo $\theta(t) \text { and } \omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)$ vienen dadas por

\ [\ begin {array} {c}
\ theta (t) =\ theta_ {0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha) +\ frac {\ omega_ {z, 0}} {\ omega_ {0}}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha)\
\ omega_ {z} (t)\ frac {d\ theta} {d t} (t) =-\ omega_ {0}\ theta_ {0}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha) +\ omega_ {z, 0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

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