25.7: Ejemplos trabajados
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Ejemplo 25.1 Órbita elíptica
Un satélite de masams se encuentra en una órbita elíptica alrededor de un planeta de masamp>>ms. El planeta se encuentra en un foco de la elipse. El satélite está a la distanciara cuando está más alejado del planeta. La distancia de aproximación más cercana esrp (Figura 25.11). ¿Cuál es (i) la velocidadvp del satélite cuando está más cerca del planeta y (ii) la velocidadva del satélite cuando está más alejado del planeta?

Solución: El momento angular sobre el origen es constante→rO,a⊥→va y porque y→rO,a⊥→vp, la magnitud de los momentos angulares satisface
L≡LO,p=LOa
Debido a quems<<mp la masa reducidaμ≅ms y así la condición de momento angular se convierte
L=msrpvp=mrsrva
Podemos resolver paravp en términos de las constantes de laG,mp,ra and rp siguiente manera. Elija cero para la energía potencial gravitacional,U(r=∞)=0. Cuando el satélite está a la distancia máxima del planeta, la energía mecánica es
Ea=Ka+Ua=12msv2a−Gmsmpra
Cuando el satélite está en el acercamiento más cercano la energía es
Ep=12msv2p−Gmsmprp
Cuando el satélite está en el acercamiento más cercano la energía es
Ep=12msv2p−Gmsmprp
La energía mecánica es constante,
E≡Ea=Ep
por lo tanto
E=12msv2p−Gmsmprp=12msv2a−Gmsmpra
De la Ecuación (25.6.2) sabemos que
va=(rp/ra)vp
Sustituir la ecuación (25.6.7) en la ecuación (25.6.6) y dividirla porms/2 rendimientos
v2p−2Gmprp=r2pr2av2p−2Gmpra
Podemos resolver esta Ecuación (25.6.8) paravp
\ [\ begin {array} {l}
v_ {p} ^ {2}\ izquierda (1-\ frac {r_ {p} ^ {2}} {r_ {a} ^ {2}}\ derecha) =2 G m_ {p}\ izquierda (\ frac {1} {r_ {p}} -\ frac {1} {r_ {a}}\ derecha)\ Fila derecha\\
v_ {p} ^ {2}\ izquierda (\ frac {r_ {a} ^ {2} -r_ {p} ^ {2}} {r_ {a} ^ {2}}\ derecha) =2 G m_ {p}\ izquierda (\ frac {r_ {a} -r_ {p}} {r_ {p} r_ {a}\ Derecha)\ Derecha\\
v_ {p} ^ {2}\ izquierda (\ frac {\ izquierda (r_ {a} -r_ {p}\ derecha)\ izquierda (r_ {a} +r_ {p}\ derecha)} {r_ {a} ^ {2}}\ derecha) =2 G m_ {p}\ izquierda (\ frac {r_ {a} -r_ {p}} {r_ _ {p} r_ {a}}\ derecha)\ fila derecha\\
v_ {p} =\ sqrt {\ frac {2 G m_ {p} r_ {a}} {\ izquierda (r_ {a} +r_ {p}\ derecha) r_ {p}}}
\ end {array}\ nonumber\]
Ahora usamos la Ecuación (25.6.7) para determinar que
va=(rp/ra)vp=√2Gmprp(ra+rp)ra
Ejemplo 25.2 El movimiento de la estrella SO-2 alrededor del Agujero Negro en el Centro Galáctico
El Grupo Centro Galáctico UCLA, encabezado por la doctora Andrea Ghez, midió las órbitas de muchas estrellas dentro de 0.8′′ × 0.8′′ del centro galáctico. Las órbitas de seis de esas estrellas se muestran en la Figura 25.12.

Nos enfocaremos en la órbita de la estrella S0-2 con las siguientes propiedades orbitales dadas en la Tabla 25.13. Las distancias se dan en unidades astronómicas1au=1.50×1011m, que es la distancia media entre la tierra y el sol.
Cuadro 25.1 Propiedades orbitales de S0-2
\ [\ begin {array} {|l|l|l|l|l|l|l|}
\ hline\ text {estrella} &\ begin {array} {l}
\ text {Período}\
\\ text {(años)}
\ end {array} &\ text {Excentricidad} &\ begin {array} {l}
\ text {Semi-mayor}\
\ texto {eje}\\
\ left (10^ {-3}\ text {arcsec}\ derecha)
\ end {array} &\ begin {array} {l}
\ text {Periapse}\
\ text {(au)}
\ end {array} &\ begin {array} {l}
\ text {Apoapse}\
\ text {(au)}
\ end { array}\\
\ hline\ text {S0-2} &\ begin {array} {l}
15.2\\
(0.68/0.76)
\ end {array} &\ begin {array} {l}
0.8763\\
(0.0063)
\ end {array} & 120.7 (4.5) & 119.5 (3.9) & 1812 (73)\\
\ hline
\ end {array}\ nonumber\]
El periodo de S0-2 satisface la Tercera Ley de Kepler, otorgada por
T2=4π2a3G(m1+m2)
dondem1 es la masa de S0-2,m2 es la masa del agujero negro, y a es el semieje mayor de la órbita elíptica de S0-2. (a) Determinar la masa del agujero negro que orbita la estrella S0- 2. ¿Cuál es la relación entre la masa del agujero negro y la masa solar? b) ¿Cuál es la velocidad de S0-2 en periapsis (distancia de aproximación más cercana al centro de la galaxia) y apoapsis (distancia de aproximación más alejada al centro de la galaxia)?
Solución: a) El semieje mayor viene dado por
a=rp+ra2=119.5au+1812au2=965.8au
En unidades SI (metros), esto es
a=965.8au1.50×1011m1au=1.45×1014m
La masam1 de la estrella S0-2 es mucho menor que la masa del agujero negro, y lam2 Ecuación (25.6.11) se puede simplificar a
T2=4π2a3Gm2
Resolviendo para la masam2 e insertando los valores numéricos, rendimientos
\ [\ begin {alineado}
m_ {2} &=\ frac {4\ pi^ {2} a^ {3}} {G T^ {2}}\\
&=\ frac {\ izquierda (4\ pi^ {2}\ derecha)\ izquierda (1.45\ veces 10^ {14}\ mathrm {m}\ derecha) ^ {3}} {\ izquierda (6.67 veces\ 10^ {-11}\ mathrm {N}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ cdot\ mathrm {kg} ^ {-2}\ derecha)\ izquierda ((15.2\ mathrm {año})\ izquierda (3.16\ veces 10^ {7} \ mathrm {s}\ cdot\ mathrm {año} ^ {-1}\ derecha)\ derecha) ^ {2}}\\
&=7.79\ times 10^ {34}\ mathrm {kg}
\ end {alineado}\ nonumber\]
La relación entre la masa del agujero negro y la masa solar es
m2msun=7.79×1034kg1.99×1030kg=3.91×106
La masa del agujero negro corresponde a casi cuatro millones de masas solares.
(b) Podemos utilizar nuestros resultados del Ejemplo 25.1 que
vp=√2Gm2ra(ra+rp)rp=√Gm2raarp
va=rpravp=√2Gm2rp(ra+rp)ra=√Gm2rpara
dondea=(ra+rb)/2 está el eje semi-mayor. Inserción de valores numéricos,
\ [\ begin {alineado}
v_ {p} &=\ sqrt {\ frac {G m_ {2}} {a}\ frac {r_ {a}} {r_ {p}}}\\
&=\ sqrt {\ frac {\ left (6.67\ times 10^ {-11}\ mathrm {N}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ cdot\ mathrm {kg} ^ {-2}\ derecha)\ izquierda (7.79\ times 10^ {34}\ mathrm {kg}\ derecha)} {\ izquierda (1.45\ veces 10^ {14}\ mathrm {m}\ derecha)}\ izquierda (\ frac {1812} {119.5}\ derecha)}\\
&=7.38\ times 10^ {6}\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}
\ end {alineado}\ nonumber\]
La velocidadva en apoapse es entonces
va=rpravp=(1812119.5)(7.38×106m⋅s−1)=4.87×105m⋅s−1
Ejemplo 25.3 Fuerza central proporcional a la distancia en cubos
Una partícula de masa m se mueve en plano alrededor de un punto central bajo una fuerza central atractiva de magnitudF=br3. La magnitud del momento angular alrededor del punto central es igual a L. (a) Encontrar la energía potencial efectiva y hacer bosquejo de la energía potencial efectiva en función de r. b) Indicar en un boceto del potencial efectivo la energía total para el movimiento circular. (c) El radio de la órbita de la partícula varía entrer0 y2r0. Encuentrar0.
Solución: a) La energía potencial, tomando el cero de energía potencial para estar en r = 0, es
U(r)=−∫r0(−br′3)dr′=b4r4
La energía potencial efectiva es
Ueff(r)=L22mr2+U(r)=L22mr2+b4r4
En la Figura 25.13a se muestra una gráfica que incluye el potencial (amarillo, curva más a la derecha), el términoL2/2m (verde, curva más a la izquierda) y el potencial efectivo (azul, curva central). La escala horizontal está en unidades der0 (correspondiente al radio de la órbita circular de menor energía) y la escala vertical está en unidades del potencial efectivo mínimo.
b) La energía potencial efectiva mínima es la línea horizontal (roja) en la Figura 25.13a.

c) Estamos tratando de determinar el valor der0 tal queUeff(r0)=Ueff(2r0). Por lo tanto
L2mr20+b4r40=L2m(2r0)2+b4(2r0)4
Reordenando y combinando términos, entonces podemos resolver parar0,
\ [\ begin {array} {c}
\ frac {3} {8}\ frac {L^ {2}} {m}\ frac {1} {r_ {0} ^ {2}} =\ frac {15} {4} b r_ {0} ^ {4}\
r_ {0} ^ {6} =\ frac {1} {10}\ frac {L^ {2}} {m b}
\ end {array}\ nonumber\]
En la gráfica de la Figura 25.13b, si pudiéramos mover la línea roja hacia arriba hasta que intersecta la curva azul en dos puntos cuyo valor del radio difiera en un factor de 2, esos serían los valores respectivos parar0 y2r0. En la Figura 25.13b se muestra una gráfica que muestra la energía correspondiente como la línea magenta horizontal.
Ejemplo 25.4 Órbita de transferencia
Un vehículo espacial se encuentra en órbita circular alrededor de la tierra. La masa del vehículo esms=3.00×103kg y el radio de la órbita es2Re=1.28×104km. Se desea trasladar el vehículo a una órbita circular de radio4Re (Figura 24.14). La masa de la tierra esMe=5.97×1024kg. a) ¿Cuál es el gasto mínimo de energía requerido para la transferencia? b) Una manera eficiente de lograr la transferencia es utilizar una órbita elíptica desde el punto A en la órbita circular interna hasta un punto B en la órbita circular exterior (conocida como órbita de transferencia Hohmann). ¿Qué cambios de velocidad se requieren en los puntos de intersección, A y B?

Solución: a La energía mecánica es la suma de las energías cinéticas y potenciales,
\ [\ begin {alineado}
E &=K+U\\
&=\ frac {1} {2} m_ {s} v^ {2} -G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e}}
\ end {alineado}\ nonumber\]
Para una órbita circular, la velocidad orbital y el radio orbital deben estar relacionados por la Segunda Ley de Newton,
\ [\ begin {array} {l}
F_ {r} =m a_ {r}\\
-G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e} ^ {2}} =-m_ {s}\ frac {v^ {2}} {R_ {e}}\ Fila derecha\
\ frac {1} {2} m_ {s} v^ {2} =\ frac {1} {2} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e}}
\ end {array}\ nonumber\]
Sustituir el último resultado en (25.6.22) en Ecuación (25.6.21) rinde
E=12GmsMeRe−GmsMeRe=−12GmsMeRe=12U(Re)
La ecuación (25.6.23) es un ejemplo de lo que se conoce como el Teorema Virial, en el que la energía es igual a (1/2) la energía potencial para la órbita circular. Al pasar de una órbita circular de radio2Re a una órbita circular de radio4Re, la energía total aumenta, (a medida que la energía se vuelve menos negativa). El cambio en la energía es
\ [\ begin {alineado}
\ Delta E &=E\ izquierda (r=4 R_ {e}\ derecha) -E\ izquierda (r=2 R_ {e}\ derecha)\\
&=-\ frac {1} {2} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {4 R_ {e} -\ izquierda (-\ frac {1} {2} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {2 R_ {e}}\ derecha)\\
&=\ frac {G m_ {s} M_ {e}} {8 R_ {e}}
\ end {alineado}\ nonumber\]
Insertando los valores numéricos,
\ [\ begin {alineado}
\ Delta E &=\ frac {1} {8} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e}} =\ frac {1} {4} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {2 R_ {e}}\\
&=\ frac {1} {4}\ izquierda (6.67\ times 10^ {-11}\ mathrm {m} ^ {3}\ cdot\ mathrm {kg} ^ {-1}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha)\ frac {\ izquierda (3.00\ veces 10^ {3}\ mathrm {kg}\ derecha)\ izquierda ( 5.97\ veces 10^ {24}\ mathrm {kg}\ derecha)} {\ izquierda (1.28\ veces 10^ {4}\ mathrm {km}\ derecha)}\\
&=2.3\ veces 10^ {10}\ mathrm {J}
\ end {alineado}\ nonumber\]
b) El satélite deberá incrementar su velocidad en el punto A con el fin de desplazarse al radio orbital mayor y volver a aumentar su velocidad en el punto B para permanecer en la nueva órbita circular. Denotar la velocidad del satélite en el punto A mientras está en la órbita circular a medida quevA,i y después del aumento de velocidad (un “cohete quema”) comovA,f De manera similar, denotar la velocidad del satélite cuando alcanza por primeravB,i vez el punto B como Una vez que el satélite alcanza el punto B, entonces necesita aumentar su velocidad para poder continuar en órbita circular. Denotar la velocidad del satélite en la órbita circular en el punto B porvB,f. Las velocidadesvA,i yvB,f están dadas por la Ecuación (25.6.22). Mientras el satélite se mueve del punto A al punto B en la órbita elíptica (es decir, durante la transferencia, después de la primera quemadura y antes del segundo), se conservan tanto la energía mecánica como el momento angular. La conservación de la energía relaciona las velocidades y radios
12ms(vA,f)2−Gmsme2Re=12ms(vB,t)2−Gmsme4Re
La conservación del momento angular relaciona las velocidades y radios por
msvA,f(2Re)=msvB,i(4Re)⇒vA,f=2vB,i
La sustitución de la Ecuación (25.6.27) en la Ecuación (25.6.26) produce, después del álgebra menor,
vA,f=√2GMe3,vB,i=√16GMeRe
Ahora podemos usar la Ecuación (25.6.22) para determinar que
vA,i=√12GMeRe,vB,f=√14GMeRe
Así, el cambio en las velocidades en los puntos respectivos viene dado por
\ [\ begin {array} {l}
\ Delta v_ {A} =v_ {A, f} -v_ {A, i} =(\ sqrt {\ frac {2} {3}} -\ sqrt {\ frac {1} {2}})\ sqrt {\ frac {G M_ {e}} {R_ {e}}}
\\ Delta {B} =v_ {B, f} -v_ {B, i} =(\ sqrt {\ frac {1} {4}} -\ sqrt {\ frac {1} {6}})\ sqrt {\ frac {G M_ {e}} {R_ {e}}}
\ end {array}\ nonumber\]
La sustitución de valores numéricos da
ΔvA=8.6×102m⋅s−2,ΔvB=7.2×102m⋅s−2