25.10: Apéndice 25C Propiedades geométricas analíticas de elipses
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Considera la Ecuación (25.3.20), y por ahora toma\(\varepsilon<1\), para que la ecuación sea la de una elipse. Ahora demostraremos que podemos escribirlo como
\[\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \nonumber \]
donde la elipse tiene ejes paralelos a los ejes de coordenadas x e y, centro en (\(x_{0}\), 0), semieje mayor a y semieje menor b. Comenzamos reescribiendo la Ecuación (25.3.20) como
\[x^{2}-\frac{2 \varepsilon r_{0}}{1-\varepsilon^{2}} x+\frac{y^{2}}{1-\varepsilon^{2}}=\frac{r_{0}^{2}}{1-\varepsilon^{2}} \nonumber \]
A continuación completamos la plaza,
\ [\ begin {array} {l}
x^ {2} -\ frac {2\ varepsilon r_ {0}} {1-\ varepsilon^ {2}} x+\ frac {\ varepsilon^ {2} r_ {0} ^ {2}} {\ izquierda (1-\ varepsilon^ {2}\ derecha) 2}} +\ frac {y^ {2}} {1-\ varepsilon^ {2}} =\ frac {r_ {0} ^ {2}} {1-\ varepsilon^ {2}} +\ frac {\ varepsilon^ {2} r_ {0} ^ {2}} {\ left (1-\ varepsilon^ {2} ^ {2}\ derecha) ^ {2}}\ Derecha\\
\ left (x-\ frac {\ varepsilon r_ {0}} {1-\ varepsilon^ {2}}\ derecha) ^ {2} +\ frac {y^ {2}} {1-\ varepsilon^ {2}} =\ frac {r_ {0} ^ {2}} {\ left (1-\ varepsilon^ {2} ^ {2}\ derecha) ^ {2}}\ fila derecha
\\ frac {\ izquierda (x-\ frac {\ varepsilon r_ {0}} {1-\ varepsilon^ {2}}\ derecha) ^ {2}} {\ izquierda (r_ {0}/\ izquierda (1-\ varepsilon^ {2}\ derecha)\ derecha) ^ {2}} +\ frac {y^ {2}} {\ left (r_ {0}/\ sqrt {1-\ varepsilon^ {2}}\ derecha) ^ {2}} =1
\ end {array}\ nonumber\]
La última expresión en (25.C.3) es la ecuación de una elipse con semieje mayor
\[a=\frac{r_{0}}{1-\varepsilon^{2}} \nonumber \]
eje semimenor
\[b=\frac{r_{0}}{\sqrt{1-\varepsilon^{2}}}=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}} \nonumber \]
y centro en
\[x_{0}=\frac{\varepsilon r_{0}}{\left(1-\varepsilon^{2}\right)}=\varepsilon a \nonumber \]
como se encuentra en la Ecuación (25.B.10).