26.4: Deformación Elástica y Plástica

Considera una sola hoja de papel. Si doblamos el papel suavemente, y luego soltamos las fuerzas de restricción, la hoja volverá a su estado inicial. Este proceso de doblado suave es reversible ya que el papel muestra un comportamiento elástico. Las fuerzas internas responsables de la deformación son conservadoras. Aunque no tenemos un modelo matemático simple para la energía potencial, sabemos que la energía mecánica es constante durante la flexión. Podemos tomar la misma hoja de papel y arrugarla. Cuando soltemos el papel ya no volverá a su hoja original sino que tendrá una deformación permanente. Las fuerzas internas ahora incluyen fuerzas no conservadoras y la energía mecánica disminuye. Este comportamiento plástico es irreversible.

Figura 26.5: Relación esfuerzo-deformación

Cuando la tensión sobre un material es linealmente proporcional a la tensión, el material se comporta de acuerdo con la Ley de Hooke. El límite de proporcionalidad es el valor máximo de estrés en el que el material aún satisface la Ley de Hooke. Si la tensión se incrementa por encima del límite de proporcionalidad, la tensión ya no es linealmente proporcional a la deformación. Sin embargo, si la tensión se elimina lentamente entonces el material volverá a su estado original; el material se comporta elásticamente. Si la tensión está por encima del límite de proporcionalidad, pero menor que el límite elástico, entonces la tensión ya no es linealmente proporcional a la deformación. Incluso en esta región no lineal, si la tensión se elimina lentamente entonces el material volverá a su estado original. El valor máximo de tensión en el que el material seguirá siendo elástico se denomina límite elástico. Para tensiones por encima del límite elástico, cuando se elimina la tensión el material no volverá a su estado original y se establece alguna deformación permanente, un estado denominado conjunto permanente. Este comportamiento se conoce como deformación plástica. Para una tensión suficientemente grande, el material se fracturará. La Figura 26.5 ilustra una relación tensión-deformación típica para un material. El valor de la tensión que fractura un material se conoce como la resistencia a la tracción final. Las resistencias a la tracción finales para diversos materiales se enumeran en la Tabla 26.3. Las resistencias a la tracción para huesos humanos húmedos son para una persona cuya edad está entre 20 y 40 años de edad.

Tabla 26.3: Resistencia máxima a la tracción para diversos materiales

\ begin {ecuación}\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ text {Material} &\ text {Módulo de cizallamiento,}\(S\)\ texto {(Pa)}
\\ hline\ text {Fémur} & 1.21\ veces 10^ {8}
\\ hline\ texto {húmero} & 1.22\ veces 10^ {8}\
\ hline\ texto {Tibia} & amp; 1.40\ times 10^ {8}\\
\ hline\ text {Peroné} & 1.46\ veces 10^ {8}
\\ hline\ texto {Ulna} & 1.48\ veces 10^ {8}
\\ hline\ texto {Radio} & 1.49\ veces 10^ {8}\
\ hline\ text {Aluminio} & 2.2\ veces 10^ {8}\
\ hline\ text {Hierro} & 3.0\ veces 10^ {8}\\
\ hline\ texto {Latón} & 4.7\ veces 10^ {8}\\\ hline
\ texto {Acero} & 5-20\ veces 10^ {8}\\ hline
\ end {array}
\ end {array}\ end {ecuación}

Ejemplo 26.2: Resistencia máxima a la tracción de los huesos

La máxima resistencia a la tracción de la tibia humana húmeda (para una persona de entre 20 y 40 años) es\(1.40 \times 10^{8} \mathrm{Pa}\). Si se aplica una mayor fuerza de compresión por área a la tibia entonces el hueso se romperá. El área de sección transversal más pequeña de la tibia, aproximadamente,\(3.2 \mathrm{cm}^{2}\) está ligeramente por encima del tobillo. Supongamos que una persona de masa 60 kg salta al suelo desde una altura 2.0 m y absorbe el choque de golpear el suelo doblando las rodillas. Supongamos que hay una desaceleración constante durante la colisión. Durante la colisión, la persona baja su centro de masa en una cantidad d = 1.0 cm. a) ¿Cuál es el tiempo de colisión\(\Delta t_{\mathrm{col}}\)? b) Encontrar la fuerza promedio del suelo sobre la persona durante el choque. (c) ¿Podemos ignorar efectivamente la fuerza gravitacional durante la colisión? d) ¿La persona se romperá el tobillo? e) ¿Cuál es la distancia mínima\(\Delta d_{\min }\) que necesitaría para bajar su centro de masa para que no se rompa el tobillo? ¿Cuál es la relación\(h_{0} / \Delta d_{\min }\)? ¿De qué factores depende esta relación?

Solución: Elija un sistema de coordenadas con la dirección y positiva apuntando hacia arriba, y el origen en el suelo. Mientras la persona cae al suelo, la energía mecánica es constante (estamos descuidando cualquier trabajo no conservador debido a la resistencia del aire). Elija el punto de contacto con el suelo como punto de referencia de energía de potencial cero. Entonces la energía mecánica inicial es

\ begin {ecuación} E_ {0} =U_ {0} =m g h_ {0}\ final {ecuación}

La energía mecánica de la persona justo antes del contacto con el suelo es

\ begin {ecuación} E_ {b} =K_ {1} =\ frac {1} {2} m v_ {b} ^ {2}\ end {ecuación}

La constancia de la energía mecánica implica que

\ begin {ecuación} m g h_ {0} =\ frac {1} {2} m v_ {b} ^ {2}\ final {ecuación}

La velocidad de la persona al que se hace contacto instantáneo con el suelo es entonces

\ begin {ecuación} v_ {b} =\ sqrt {2 g h_ {0}}\ end {ecuación}

Si tratamos a la persona como el sistema entonces hay dos fuerzas externas que actúan sobre la persona, la fuerza gravitacional\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=-m g \hat{\mathbf{j}}\) y una fuerza normal entre el suelo y la persona\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{N}=N \hat{\mathbf{j}}\). Esta fuerza varía con el tiempo pero consideraremos el promedio de tiempo\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{ave}}^{N}=N_{\mathrm{ave}} \hat{\mathbf{j}}\). Luego usando la Segunda Ley de Newton,

\ begin {ecuación} N_ {\ texto {ave}} -m g=m a_ {y,\ texto {ave}}\ end {ecuación}

El componente y de la aceleración promedio es igual a

\ begin {ecuación} a_ {y,\ texto {ave}} =\ frac {N_ {\ texto {ave}}} {m} -g\ end {ecuación}

Establecer t = 0 para el instante en que la persona llegue al suelo; entonces\(v_{y, 0}=-v_{b}\). El desplazamiento de la persona mientras está en contacto con el suelo por el intervalo de tiempo\(\Delta t_{\mathrm{col}}\) viene dado por

\ begin {ecuación}\ Delta y=-v_ {b}\ Delta t_ {\ mathrm {col}} +\ frac {1} {2} a_ {y,\ mathrm {ave}}\ Delta t_ {\ mathrm {col}} ^ {2}\ end {ecuación}

El componente y de la velocidad es cero\(t=\Delta t_{\mathrm{col}}\) cuando el desplazamiento de la persona es\(\Delta y=-d\).

\ begin {ecuación} 0=-v_ {b} +a_ {y,\ text {ave}}\ Delta t_ {\ text {col}}\ end {ecuación}

Resolviendo la ecuación (26.3.15) para los rendimientos del tiempo de colisión

\ begin {ecuación}\ Delta t_ {\ mathrm {col}} =v_ {b}/a_ {y,\ mathrm {ave}}\ end {ecuación}

Ahora podemos sustituir\(\Delta y=-d\) la Ecuación (26.3.16) y la Ecuación (26.3.11) en la Ecuación (26.3.14) y resolver para el componente y de la aceleración, rindiendo

\ begin {ecuación} a_ {y,\ texto {ave}} =\ frac {g h_ {0}} {d}\ fin {ecuación}

Podemos resolver para el tiempo de colisión sustituyendo las Ecuaciones (26.3.17) y la Ecuación (26.3.11) en la Ecuación (26.3.16) y usando los valores dados en la declaración del problema, rindiendo

\ begin {ecuación}\ Delta t_ {\ mathrm {col}} =\ frac {2 d} {\ sqrt {2 g h_ {0}}} =\ frac {2\ izquierda (1.0\ veces 10^ {-2}\ mathrm {m}\ derecha)} {\ sqrt {2\ izquierda (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {^}\ derecha) (2.0\ mathrm {m})}} =3.2\ veces 10^ {-3}\ mathrm {s}\ final {ecuación}

Ahora sustituya la Ecuación (26.3.17) por el componente y de la aceleración en la Ecuación (26.3.13) y resuelva para la fuerza normal promedio

\ begin {ecuación} N_ {\ mathrm {ave}} =m g\ izquierda (1+\ frac {h_ {0}} {d}\ derecha) = (60\ mathrm {kg})\ izquierda (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha)\ izquierda (1+\ frac {(2.0\ mathrm {m})} {left (1.0\ times 10^ {-2}\ mathrm {m}\ right)}\ right) =1.2\ times 10^ {5}\ mathrm {N}. (26.3 .19)\ end {ecuación}

Observe que el factor\(1+h_{0} / d \simeq h_{0} / d\) así durante la colisión podemos ignorar efectivamente la fuerza gravitacional externa. La fuerza de compresión promedio por área en el tobillo de la persona es la fuerza normal promedio dividida por el área de sección transversal

\ begin {ecuación} P=\ frac {N_ {\ text {ave}}} {A}\ simeq\ frac {m g} {A}\ left (\ frac {h_ {0}} {d}\ derecha) =\ frac {1.2\ veces 10^ {5}\ mathrm {N}} {3.2\ veces 10^ {-4}\ mathrm {m} ^ ^ 2}} =3.7\ veces 10^ {8}\ mathrm {Pa}\ final {ecuación}

Del Cuadro 26.3, la resistencia a la tracción de la tibia es\(1.4 \times 10^{8} \mathrm{Pa}\), por lo que esta caída es suficiente para romper la tibia.

Para encontrar el desplazamiento mínimo que debe caer el centro de masa para evitar romper el hueso de la tibia, establecemos la fuerza por área en la Ecuación (26.3.20) igual a\(P=1.4 \times 10^{8} \mathrm{Pa}\). Porque a este valor de resistencia a la tracción,

\ begin {ecuación}\ frac {P A} {m g} =\ frac {\ izquierda (1.4\ veces 10^ {8}\ mathrm {Pa}\ derecha)\ izquierda (\ izquierda (3.2\ veces 10^ {-4}\ mathrm {m} ^ {2}\ derecha)\ derecha.} {(60\ mathrm {kg})\ izquierda (9.8\ mathrm {m}\ cpunto\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha)} =80\ final {ecuación}

y así\(P A>>m g\). Podemos resolver la Ecuación (26.3.20) para el desplazamiento mínimo

\ begin {ecuación} d_ {\ min} =\ frac {h_ {0}} {\ izquierda (\ frac {P A} {m g} -1\ derecha)}\ simeq\ frac {m g h_ {0}} {P A} =\ frac {(60\ mathrm {kg})\ izquierda (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha) (2.0\ mathrm {m})} {\ izquierda (1.4\ veces 10^ {8}\ mathrm {Pa}\ derecha)\ izquierda (3.2\ veces 10^ {-4}\ mathrm {m} ^ {2}\ derecha)} =2.6\ mathrm {cm}\ end {ecuación}

donde usamos el hecho de que

\ begin {ecuación}\ frac {P A} {m g} =\ frac {\ izquierda (1.4\ veces 10^ {8}\ mathrm {Pa}\ derecha)\ izquierda (\ izquierda (3.2\ veces 10^ {-4}\ mathrm {m} ^ {2}\ derecha)\ derecha.} {(60\ mathrm {kg})\ izquierda (9.8\ mathrm {m}\ cpunto\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha)} =76\ final {ecuación}

y así\(P A>>m g\). La relación

\ begin {ecuación} h_ {0}/d_ {\ min}\ simeq P A/m g=76\ final {ecuación}

Esta relación depende de la resistencia a la compresión del hueso, el área de la sección transversal e inversamente del peso de la persona. La fuerza normal máxima es de dos a diez veces la fuerza normal promedio. Una distancia segura para bajar el centro de masa sería de unos 20 cm.