27.5: Compresibilidad de un Fluido

Cuando la presión es uniforme en todos los lados de un objeto en un fluido, la presión comprimirá el objeto dando como resultado un volumen más pequeño. Cuando aumentamos la presión\(ΔP\) sobre un material de volumen\(v_{o}\), entonces el volumen del material cambiará\(ΔV < 0\) y en consecuencia la densidad del material también cambiará. Definir la tensión aparente por el aumento en el cambio de presión

\[\sigma_{B} \equiv \Delta P \nonumber \]

Definir la deformación a granel por la relación

\[\varepsilon_{B} \equiv \frac{\Delta V}{V_{0}} \nonumber \]

Para muchos materiales, para pequeños cambios de presión, la tensión aparente es linealmente proporcional a la deformación a granel,

\[\Delta P=-B \frac{\Delta V}{V_{0}} \label{27.5.3} \]

donde la constante de proporcionalidad\(B\) se denomina módulo volumétrico. La unidad SI para módulo aparente es el pascal. Si el módulo volumétrico de un material es muy grande, un cambio de presión grande dará como resultado solo un pequeño cambio de volumen. En ese caso el material se llama incompresible. En el Cuadro 27.2 se tabula el módulo volumétrico para diversos materiales. \[\text {Table 27.2 Bulk Modulus for Various Materials} \nonumber \]

\ [\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ text {Material} &\ text {Módulo a granel,} Y\ text {, (Pa)}\
\\ hline\ text {Diamante} & 4.4\ veces 10^ {11}\
\ hline\ texto {Hierro} & 1.6\ veces 10^ {11}\
\ hline\ texto {Níquel} & 1.7\ veces 10^ {11}\ \
\ hline\ texto {Acero} & 1.6\ veces 10^ {11}\
\ hline\ texto {Cobre} & 1.4\ veces 10^ {11}\
\ hline\ texto {Latón} & 6.0\ veces 10^ {10}\
\ hline\ texto {Aluminio} & 7.5\ veces 10^ {10}\
\ hline\ texto {Cristal de Corona} & 5.0\ times 10^ {10}\\
\ hline\ text {Lead} & 4.1\ times 10^ {10}\
\ hline\ begin {array} {l}
\ text {Agua (el valor aumenta}\\
\ text {a mayor presión)}
\ end {array} & 2.2\ veces 10^ {9}\\
\ hline\ begin {array} {l}
\ text {Air (volumen adiabático}\
\\ text {módulo)}
\ end {array} & 1.42\ times 10^ {5}\
\ hline\ begin {array} {l}
\ text {Aire (masa isotérmica}\
\ texto {módulo)}
\ end {array} & 1.01\ times 10^ {5}\\
\ hline
\ end {array}\ nonumber\]

Ejemplo 27.3: Compresibilidad del agua

Determinar la disminución porcentual en un volumen fijo de agua a una profundidad de 4 km donde la diferencia de presión es de 40 Mpa, con respecto al nivel del mar.

Solución

El módulo volumétrico del agua es\(2.2 \times 10^{9} \text Pa\). De la ecuación\ ref {27.5.3},

\[\frac{\Delta V}{V_{0}}=-\frac{\Delta P}{B}=-\frac{40 \times 10^{6} \mathrm{Pa}}{2.2 \times 10^{9} \mathrm{Pa}}=-0.018. \nonumber \]

Solo hay una disminución de 1.8% en el volumen. El agua es esencialmente incompresible incluso a grandes profundidades en el océano, justificando nuestra suposición de que la densidad del agua es uniforme en el océano en el Ejemplo 27.1.