2.10: Péndulos
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En la Sección 2.2, se discutió el significado físico de la inercia rotacional como la relación entre el par aplicado y la aceleración angular resultante. En movimiento lineal, estamos familiarizados con la ecuaciónF=ma. La Ecuación correspondiente cuando se trata de pares y aceleración angular esτ=I¨θ. También estamos familiarizados con la ecuación de movimiento para una masa que vibra al final de un resorte de fuerza constante k:m¨x=−kx. Se trata de un simple movimiento armónico de época2π√mk. La mecánica del péndulo de torsión es similar.
La constantec de torsión de un cable es el par requerido para torcerlo a través del ángulo unitario. Si una masa se suspende de un cable de torsión, y el cable se tuerce a través de un ánguloθ, el par de restauración serácθ, y la Ecuación de movimiento esI¨θ=−cθ, que es simple movimiento armónico de período2π√Ic. La constante de torsión de un alambre de sección transversal circular, por cierto, es proporcional a su módulo de cizallamiento, la cuarta potencia de su radio, e inversamente como su longitud. La derivación de esto lleva un poco de problemas, pero se puede verificar mediante análisis dimensional. Por lo tanto, un alambre grueso es mucho más difícil de torcer que uno delgado. Un alambre de sección transversal rectangular estrecha, como una tira o una cinta, tiene una constante de torsión relativamente pequeña.
Ahora veamos no un péndulo de torsión, sino a un péndulo que se balancea alrededor de un eje bajo gravedad.
Suponemos que el péndulo, de masam, se balancea alrededor de un punto O, que está a unah distancia del centro de masa C. La inercia rotacional alrededor de O esI. La línea OC hace un ánguloθ con la vertical, de manera que la distancia horizontal entre O y C eshsinθ. El par sobre O esmghsinθ, de modo que la ecuación de movimiento es
I¨θ=−mghsinθ.
Para ángulos pequeños (sinθ≈θ), esto es
I¨θ=−mghθ.
Esto es simple movimiento armónico del período
P=2π√Imgh.
Veremos dos ejemplos: una varilla uniforme y un arco de círculo.
Primero, una varilla uniforme.
El centro de masa es C. La inercia rotacional alrededor de C es13ml2, por lo que la inercia rotacional alrededor de O esI=13ml2+mh2. Si sustituimos esto en la ecuación2.10.3, encontramos para el período de pequeñas oscilaciones
P=2π√l2+3h23gh.
Esto se puede escribir
P=2π√l3g⋅√l+3(hl)2hl.
o, si escribimosP=P2π√l3g yh=hl:
P=√1+3h2h.
La figura muestra una gráfica deP versush.
La ecuación se2.10.6 puede escribir
P2=1h+3h.
y, por diferenciación deP2 con respecto ah, encontramos que el periodo es menor cuandoh=1√3.
Este periodo mínimo viene dado porP2=√12, oP=1.861.
La ecuación2.10.7 también se puede escribir
3h2−P2h+1=0
Esta Ecuación cuadrática muestra que existen dos posiciones del soporteO que dan lugar al mismo periodo de pequeñas oscilaciones. El periodo es menor cuando las dos soluciones de Ecuación2.10.8 son iguales, y por la teoría de Ecuaciones cuadráticas, entonces, el menor periodo viene dado porP2=√12 como también deducimos por diferenciación de Ecuación2.10.7, y esto ocurre cuandoh=1√3.
Para periodos más largos que este, existen dos soluciones parah. Dejah1 ser el más pequeño de estos, y dejah2 ser el más grande. Por la teoría de las ecuaciones cuadráticas, tenemos
h1+h2=13P2
y
h1h2=13
DejarH=h2−h1 ser la distancia entre dos puntosO que dan el mismo periodo de oscilación.
Entonces
H2=(h2−h1)2=(h2+h1)2−4h1h2=P4−129
Si medimosH por un periodo determinadoP y recordamos la definición deP vemos que esto proporciona un método para determinarg. Si bien se trata de un ejercicio común de laboratorio de pregrado, la gráfica muestra que el mínimo es muy superficial y en consecuenciaH y por lo tantog son muy difíciles de medir con alguna precisión.
Para otro ejemplo, veamos un alambre doblado en el arco de un círculo de radio quea oscila en un plano vertical alrededor de su punto medio. En la figura,C está el centro de masa.
La inercia rotacional alrededor del centrodel círculo esma2. Por dos aplicaciones del teorema de ejes paralelos, vemos que la inercia rotacional alrededor del punto de oscilación esI=ma2−m(a−h)2+mh2=2mah .Así, a partir de la Ecuación2.10.3 encontramos
P=2π√2ag,
y el periodo es independiente de la longitud del arco.