5.2: Bolas Rebotantes
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- Puede rebotar exactamente con la misma velocidad que la velocidad a la que golpeó el suelo. Se trata de una colisión elástica.
- Puede llegar a un completo descanso, por ejemplo si se tratara de una bola de masilla blanda. Voy a llamar a esto una colisión completamente inelástica.
- Puede rebotar, pero con una velocidad reducida. Por falta de un mejor término me referiré a esto como una colisión algo inelástica.
- Si sucede que hay un pequeño montón de pólvora tirado sobre la mesa donde la pelota la golpea, puede rebotar con una velocidad más rápida que la que tenía inmediatamente antes de la colisión. Eso sería una colisión superelástica.
La relación
\[ \dfrac{\text{speed after collision}}{\text{speed before collision}} \nonumber \]
se llama el coeficiente de restitución, para lo cual utilizaré el símbolo de velocidad antes de colisión\( e\). El coeficiente es 1 para una colisión elástica, menor de 1 para una colisión inelástica, cero para una colisión completamente inelástica y mayor de 1 para una colisión superelástica. La relación de energía cinética (después) a energía cinética (antes) es evidentemente, en esta situación,\( e^{2}\).
Si una pelota cae sobre una mesa desde una altura\( h_{0}\), tardará un tiempo\( t_{0} = \sqrt{2H_{0}lg} \) en caer. Si la colisión es algo inelástica entonces se elevará a una altura\( h_{1}=e^{2}h_{0}\) y tardará un tiempo en llegar\( et\) a la altura\( h_{1}\). Entonces volverá a caer, y volverá a rebotar, esta vez a una altura menor. Y, si el coeficiente de restitución sigue siendo el mismo, seguirá haciendo esto por un número infinito de rebotes. Después de mil millones de rebotes, todavía hay un número infinito de rebotes por venir. La distancia total recorrida es
\[ h = h_{0} +2h_{0}(e^{2}+e^{4}+e^{6}+...) \tag{5.2.1}\label{eq:5.2.1} \]
y el tiempo que se toma es
\[ t = t_{0} +2t_{0}(e + e^{2}+e^{3}+...). \tag{5.2.2}\label{eq:5.2.2} \]
Estas son series geométricas, y sus sumas son
\[ h = h_{0} \left(\frac{1+e^{2}}{1-e^{2}}\right), \tag{5.2.3}\label{eq:5.2.3} \]
que es independiente de g (es decir, del planeta en el que se realiza este experimento), y
\[ t = t_{0} \left(\frac{1+e}{1-e} \right) \tag{5.2.4}\label{eq:5.2.4} \]
Por ejemplo, supongamos\( h_{0}\) = 1 m,\( e\) = 0.5,\( g\) = 9.8 m s −2, entonces la pelota llega a descansar en 1.36 s después de haber recorrido 1.67 m tras un número infinito de rebotes.
¿Alguna vez la pelota deja de rebotar, dado que, después de cada rebote, todavía queda un número infinito por llegar; sin embargo, después de 1.36 segundos ya no está rebotando...?