5.4: Colisiones oblicuas

En la Figura V.2 muestro dos bolas justo antes de la colisión, y justo después de la colisión. La línea horizontal es la línea que une los centros —para abreviar, la “línea de centros”. Suponemos que conocemos la velocidad (velocidad y dirección) de cada bola antes de la colisión, y el coeficiente de restitución. La dirección del movimiento debe describirse por el ángulo que el vector de velocidad hace con la línea de centros. Queremos encontrar las velocidades (velocidad y dirección) de cada bola después de la colisión. Es decir, queremos encontrar cuatro cantidades, y por lo tanto necesitamos cuatro ecuaciones. Estas ecuaciones son las siguientes.

No hay fuerzas externas en el sistema a lo largo de la línea de centros. Por lo tanto, se conserva el componente de impulso del sistema a lo largo de la línea de centros:

$$m_{1}v_{1}\cos\beta_{1} +m_{2}v_{2}\cos \beta_{2} = m_{1}u_{1}\cos \alpha_{1} + m_{2}u_{2}\cos \alpha_{2}. \tag{5.4.1}\label{eq:5.4.1}$$

Si asumimos que las bolas son lisas, es decir, que no hay fuerzas perpendiculares a la línea de centros y las bolas no se ponen en rotación, entonces se conserva el componente del impulso de cada bola por separado perpendicular a la línea de centros:

$$v_{1}\sin\beta_{1} = u_{1} \sin \alpha_{1} \tag{5.4.2}\label{eq:5.4.2}$$

y

$$v_{2}\sin\beta_{2} = u_{2} \sin \alpha_{2}. \tag{5.4.3}\label{eq:5.4.3}$$

La última de las cuatro ecuaciones es la ecuación de restitución

$$e = \frac{\text{elative speed of recession along the line of centres after collision}}{\text{relative speed of approach along the line of centres before collision}}. \nonumber$$

Es decir,

$$v_{2}\cos\beta_{2}- v_{1}\cos\beta_{1} =e (u_{1}\cos \alpha_{1}-u_{2}\cos \alpha_{2}). \tag{5.4.4}\label{eq:5.4.4}$$

Ejemplo$\PageIndex{1A}$

Supongamos$m_{1}$ =3kg,$m_{2}$ = 2kg,$u_{1}$ = 40ms ⁻¹$u_{2}$ = 15ms ⁻¹

$\alpha_{1}$= 10 °,$\alpha_{2}$ = 70 °,$e$ = 0.8

Encontrar$v_{1}$,$v_{2}$,$\beta_{1}$,$\beta_{2}$.

Solución

$v_{1}$= 16.28 m s−1$v_{2}$ = 44.43 m s−1

$\beta_{1}$= 25°15'$\beta_{2}$ = 18°30'

Ejemplo$\PageIndex{1B}$

Supongamos$m_{1}$ = 3kg,$m_{2}$ = 3kg,$u_{1}$ = 12ms ⁻¹$u_{2}$ = 15ms ⁻¹

$\alpha_{1}$= 20 °,$\alpha_{2}$ = 50 °,$\beta_{2}$ = 47 °

Encontrar$v_{1}$, $v_{2}$,$\beta_{1}$,$e$.

Solución

$v_{1}$= 10.50 m s ⁻¹$v_{2}$ = 15.71 m s ⁻¹

$\beta_{1}$= 23 ° 00'$e$ = 0.6418

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Si$u_{2} =0$, y si$e=1$ y si$m_{1} = m_{2}$, mostrar eso$\beta_{1}$ = 90 ° y$\beta_{2}$ = 0 °.