9.1: Introducción
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Las fuerzas conservadoras tienen una serie de propiedades. Una es que el trabajo realizado por una fuerza conservadora (o, lo que equivale a lo mismo, la línea integral de una fuerza conservadora) a medida que avanza de un punto a otro es independiente de la ruta. El trabajo realizado depende únicamente de las coordenadas de los puntos inicial y final, y no del camino tomado para llegar de uno a otro. De esto se deduce que el trabajo realizado por una fuerza conservadora, o su línea integral, alrededor de un camino cerrado es cero. (Si se le recuerda aquí las propiedades de una función de estado en la termodinámica, todo para el bien.) Otra propiedad de una fuerza conservadora es que puede derivarse de una función energética potencial. Así, para cualquier fuerza conservadora, existe una función escalar\( V\) ( \( x\), \( y\), \( z\) ) such that the force is equal to - grad\( V\), or \( -\boldsymbol\nabla V\). In a one-dimensional situation, a sufficient condition for a force to be conservative is that it is a function of its position alone. In two- and three-dimensional situations, this is a necessary condition, but it is not a sufficient one. That a conservative force must be derivable from the gradient of a potential energy function and that its line integral around a closed path must be zero implies that the curl of a conservative force must be zero, and indeed a zero curl is a necessary and a sufficient condition for a force to be conservative.
Todo esto está muy bien, pero supongamos que estás atrapado en medio de un examen y tu mente se queda en blanco y no puedes pensar qué es una línea integral o un egresado o un rizo, o nunca los entendiste en primer lugar, como puedes saber si una fuerza es conservadora o ¿no? Aquí hay una regla general que casi nunca te fallará: Si la fuerza es la tensión en una cuerda elástica estirada o resorte, o el empuje en un resorte comprimido, o si la fuerza es gravedad o si es una fuerza electrostática, la fuerza es conservadora. Si no es uno de estos, no es conservador.
Un hombre levanta una canasta de abarrotes de una mesa. ¿Es la fuerza que ejerce una fuerza conservadora?
Solución
No, no lo es. La fuerza no es la tensión en una cuerda o un resorte, ni es electrostática. Y, aunque pueda estar luchando contra la gravedad, la fuerza que ejerce con sus músculos no es una fuerza gravitacional. Por lo tanto, no es una fuerza conservadora. Ya ves, puede estar acelerando a medida que mueve la canasta hacia arriba, en cuyo caso la fuerza que está ejerciendo es mayor que el peso de los abarrotes. Si se mueve a velocidad constante, la fuerza que ejerce es igual al peso de los abarrotes. Así, la fuerza que ejerce depende de si está acelerando o no; la fuerza no depende sólo de la posición.
Pero ahora no estás en un examen, y tienes tiempo suficiente para recordarte lo que es un rizo. Cada una de las dos fuerzas siguientes son funciones de posición solamente -una condición necesaria para que sean conservadoras. Pero no es una condición suficiente. De hecho uno de ellos es conservador y el otro no. Tendrás que averiguarlo evaluando el rizo de cada uno. El que tiene cero rizo es el conservador. Cuando la hayas identificado, resuelve la función energética potencial de la que se puede derivar. En otras palabras, encuentra\( V(x,y,z)\) such that \( \bf{F}=-\boldsymbol\nabla V\) .
i.\( \bf{F}=(3x^{2}z-3y^{2}z)\bf{i}-6xyz\bf{j}+(x^{3}-xy^{2})\bf{k}\)
ii. \( \bf{F}=ax^{2}yz\bf{i}-bxy^{2}z\bf{j}+cxyz^{2}\bf{k}\)
Cuando haya identificado cuál de estas fuerzas es irrotacional (es decir, tiene cero curl), puede encontrar la función potencial calculando el trabajo realizado cuando la fuerza se mueve del origen a (\( x\),\( y\),\( z\)) along any route you choose. Indeed, you might try more than one route to convince yourself that the line integral is route-independent.
Se podrían idear muchos ejercicios para determinar si diversas funciones de fuerza son conservadoras y, de ser así, cuáles son las funciones energéticas potenciales correspondientes, pero voy a restringir este capítulo a un solo tema más, a saber