13: Mecánica Lagrangiana

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A veces no es tan fácil encontrar las ecuaciones del movimiento y existe un enfoque alternativo conocido como mecánica lagrangiana que nos permite encontrar las ecuaciones del movimiento cuando el método newtoniano está resultando difícil. En la mecánica lagrangiana partimos, como de costumbre, dibujando un diagrama grande y claro del sistema, utilizando una regla y una brújula. Pero, en lugar de dibujar las fuerzas y aceleraciones con flechas rojas y verdes, dibujamos los vectores de velocidad (incluidas las velocidades angulares) con flechas azules, y, a partir de estas escribimos la energía cinética del sistema. Si las fuerzas son fuerzas conservadoras (gravedad, resortes y cuerdas estiradas), escribimos también la energía potencial. Hecho eso, el siguiente paso es anotar las ecuaciones lagrangianas de movimiento para cada coordenada. Estas ecuaciones involucran las energías cinéticas y potenciales, y están un poco más involucradas que\(F=ma\), aunque sí llegan a los mismos resultados.

13.1: Introducción a la Mecánica Lagrangiana
Voy a derivar las ecuaciones lagrangianas del movimiento, y mientras lo esté haciendo, pensarán que la marcha es muy pesada, y se desanimará. Al final de la derivación verás que las ecuaciones lagrangianas del movimiento están en efecto bastante más involucradas que f=Ma, y comenzarás a desesperarte — ¡pero no lo hagas! En muy poco tiempo después de eso podrás resolver problemas difíciles en mecánica que no podrías comenzar a usar los conocidos métodos newtonianos.
13.2: Coordenadas Generalizadas y Fuerzas Generalizadas
Un estado de una molécula puede describirse mediante una serie de parámetros, por ejemplo, longitudes de enlace y los ángulos). Estas longitudes de enlaces y ángulos de enlace constituyen un conjunto de coordenadas que describen la molécula. No vamos a pensar en ningún tipo particular de sistema de coordenadas o conjunto de coordenadas. Más bien, vamos a pensar en coordenadas generalizadas, que pueden ser longitudes o ángulos o varias combinaciones de ellas.
13.3: Restricciones Holonómicas
El estado del sistema en cualquier momento puede ser representado por un solo punto en el espacio 3N -dimensional. Sin embargo, en muchos sistemas, las partículas pueden no ser libres de vagar por cualquier parte a voluntad; pueden estar sujetas a diversas restricciones. Una restricción que puede describirse mediante una ecuación que relaciona las coordenadas (y quizás también el tiempo) se denomina restricción holonómica, y la ecuación que describe la restricción es una ecuación holonómica.
13.4: Las ecuaciones lagrangianas del movimiento
Entonces, ahora hemos derivado la ecuación de movimiento de Lagrange. Fue una dura lucha, y al final obtuvimos tres versiones de una ecuación que en la actualidad parecen bastante inútiles. Pero a partir de este punto, las cosas se vuelven más fáciles y rápidamente vemos cómo usar las ecuaciones y encontramos que de hecho son muy útiles.
13.5: Componentes de aceleración
Los componentes radial y transversal de velocidad y aceleración en coordenadas bidimensionales se derivan utilizando la ecuación de movimiento de Lagrange.
13.6: Jabón Deslizante en Cuenca Cónica
Imaginamos una barra de jabón resbaladiza (sin fricción) deslizándose en un lavabo cónico.
13.7: Jabón Deslizante en Cuenca Hemisférica
Supongamos que la cuenca es de radio a y el jabón está sujeto a la restricción holonómica r=a, es decir, que permanece en contacto con la cuenca en todo momento. Tenga en cuenta también que esta es la misma restricción de un péndulo libre para oscilar en el espacio tridimensional excepto que está sujeto a la restricción holonómica de que la cuerda esté tensa en todo momento. Así, cualquier conclusión a la que lleguemos sobre nuestro jabón también será válida para un péndulo.
13.8: Más ejemplos de mecánica lagrangiana
Más ejemplos de uso de Mecánica Lagrangiana para resolver problemas.
13.9: Principio Variacional de Hamilton
El principio variacional de Hamilton en dinámica recuerda ligeramente al principio del trabajo virtual en la estática. Al utilizar el principio del trabajo virtual en la estática nos imaginamos partiendo de una posición de equilibrio, y luego aumentando infinitesimalmente una de las coordenadas. Calculamos el trabajo virtual realizado y lo ponemos a cero. Me acuerdo un poco de esto al discutir el principio de Hamilton en dinámica

Miniatura: Péndulo simple. Dado que la varilla es rígida, la posición del bob está restringida de acuerdo con la ecuación f (x, y) =0, la fuerza de restricción es C, y el grado de libertad puede describirse por una coordenada generalizada (aquí el ángulo theta). (Dominio público; Maschen).