14.5: Soportes Poisson

Dejar\( f\) y\( g\) ser funciones de las coordenadas generalizadas y momenta. Piense en primer lugar en una coordenada\( q_{i}\), digamos, y su impulso conjugado\( p_{i}\) (definido, tal vez recuerde, como\( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\)). Ahora hago la pregunta: ¿Es\( \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}\) lo mismo que\( \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\)?

Después de pensarlo probablemente dirás algo como: Bueno, me atrevo a decir que tal vez puedas encontrar dos funciones tal que eso sea así, pero no veo por qué debería serlo para dos funciones arbitrarias cualesquiera. Si eso es lo que pensabas, pensaste bien. Pares de funciones tales que estas dos expresiones son iguales son de especial importancia. Y pares de funciones tales que estas dos expresiones no son iguales también son de especial significación

El corchete de Poisson de dos funciones de las coordenadas y momenta se define como

\[ [f,g] \quad = \quad \sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right) \label{14.5.1} \]

(Los corchetes de Poisson a veces se escriben como llaves, es decir, {}. No estoy seguro de si los brackets {} o los brackets [] son los plebeyos. He elegido corchetes aquí, para que no tenga que llamarlos frenillos de Poisson.)

Los soportes de Poisson tienen aplicaciones importantes en la mecánica celeste y en la mecánica cuántica. En la mecánica celeste, se utilizan en los desarrollos de las ecuaciones planetarias de Lagrange, las cuales se utilizan para calcular las perturbaciones de los elementos de las órbitas planetarias bajo pequeñas desviaciones de las órbitas ideales de fuente puntual de dos cuerpos. Véase, por ejemplo, el Capítulo 14 del conjunto de Mecánica Celestial de estas notas. Los lectores que han tenido un curso introductorio en mecánica cuántica pueden haber encontrado el conmutador de dos operadores, y lo harán (¡o deberían!) entender la importancia de dos operadores que conmutan. (Significa que se puede encontrar una función que es simultáneamente una función propia de ambos operadores.) Puede que no hayas pensado en el conmutador como un soporte de Poisson, pero pronto lo harás.

Supongamos (porque no hace ninguna diferencia esencial) que solo hay una sola coordenada generalizada y su impulso generalizado conjugado, de modo que el corchete de Poisson es justo

\[ [f,g] \quad = \quad \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}. \label{14.5.2} \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ahora supongamos que eso\( f\) es justo\( q\), la coordenada, y esa\( g\) es la hamiltoniana\( H\), que se define, recordarás, como\( p\dot{q}-L\), y es una función de la coordenada y del impulso. ¿Qué, entonces es el soporte de Poisson\( [q,H]\)?

Solución

\[ [q,H] \quad = \quad \frac{\partial q}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial q}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}. \label{14.5.3} \]

La coordenada y el impulso son variables independientes, por lo que\( \frac{\partial q}{\partial p}\) es cero, por lo que el segundo término en el lado derecho de la Ecuación\( \ref{14.5.3}\) es cero. En el primer término en el lado derecho,\( \frac{\partial q}{\partial q}\) es por supuesto 1, y\( \frac{\partial H}{\partial p}\), por las ecuaciones de movimiento de Hamilton, es\( \dot{q}\). Así, la respuesta es

\[ [q,H]=\dot{q}. \label{14.5.4} \]

En un sentido similar, encontrarás (¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ que

\[ [p,H]=\dot{p} \label{14.5.5} \]

Así, ni la coordenada generalizada ni el impulso generalizado conmutan con el hamiltoniano.

Ahora ve un poco más allá, y supongamos que hay más de una coordenada y más de un impulso. Dos van a hacer, para que

\[ [f,g]=\frac{\partial f}{\partial q_{1}}\frac{\partial g}{\partial p_{1}}-\frac{\partial f}{\partial p_{1}}\frac{\partial g}{\partial q_{1}}+\frac{\partial f}{\partial q_{2}}\frac{\partial g}{\partial p_{2}}-\frac{\partial f}{\partial p_{2}}\frac{\partial g}{\partial q_{2}} \label{14.5.6} \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Puedes demostrar que:

\[ [p_{1},p_{2}]=[q_{1},q_{2}]=[p_{1},q_{2}]=[q_{1},p_{2}]=0;\quad[q_{1},p_{1}]=1.? \label{14.5.7} \]

No voy a ir más allá de eso aquí, porque nos llevaría demasiado lejos en la mecánica cuántica. Sin embargo, aquellos lectores que han hecho alguna mecánica cuántica introductoria pueden recordar que hay varios pares de operadores que realizan o no conmutan, y ahora pueden comenzar a apreciar la relación entre los corchetes de Poisson de ciertos pares de cantidades observables y el conmutador de los operadores representando estas cantidades. Por ejemplo, considera el último de estos. Demuestra que una coordenada como\( x\) no conmuta con su ímpetu correspondiente\( p_{x}\). No hay nada más seguro que esto. Tan cierto es que debería llamarse el Principio de Certeza de Heisenberg. Pero por alguna razón la gente suele parecer presentar la mecánica cuántica como algo incierto o misterioso, mientras que en realidad no hay nada incierto o misterioso al respecto en absoluto.