15.9: La contracción FitzGerald-Lorentz

Esto a veces se describe en palabras como las siguientes:

Si una varilla de medición se mueve con respecto a un observador “estacionario”, “parece” ser más corta de lo que “realmente” es.

No se trata de una afirmación muy precisa, y las palabras que he colocado en comas invertidas requieren alguna aclaración.

Hemos visto que, si bien el intervalo entre dos eventos es invariante entre los marcos de referencia, la distancia entre dos puntos (y de ahí la longitud de una varilla) depende del marco de coordenadas al que se refieren los puntos. Ahora definamos a qué nos referimos con la longitud de una varilla. La Figura XV.10 muestra un marco de referencia, y una varilla paralela al\( x\) eje. Por el momento no estoy especificando si la varilla se mueve con respecto al marco de referencia, o si es estacionaria.

Supongamos que la coordenada x del extremo izquierdo de la varilla es\( x_{1}\), y que, al mismo tiempo referida a este marco de referencia, la\( x\) coordenada -del extremo derecho es\( x_{2}\). La longitud\( l\) de la varilla se define como\( l =\ x_{2}-x_{1}\). Esa apenas podría ser una afirmación más sencilla —pero fíjese en la pequeña frase “al mismo tiempo referida a este marco de referencia”. Esa simple frase es importante.

Ahora veamos la contracción FitzGerald-Lorentz. Ver Figura XV.11.

Los son dos marcos de referencia,\( \sum\) y\( sum'\). El cuadro\( \sum'\) se mueve hacia la derecha con respecto a la\( \sum\) velocidad\( \nu\). Una varilla está en reposo con respecto al bastidor\( \sum'\), y por lo tanto se mueve hacia la derecha con respecto\( \sum\) a la velocidad\( \nu\).

En mis días de juventud solía viajar en tren, y todavía me gusta pensar en trenes ferroviarios cada vez que hablo de relatividad. A los estudiantes modernos generalmente les gusta pensar en naves espaciales, presumiblemente porque están más acostumbrados a este modo de viajar. En los primeros días de los ferrocarriles, era costumbre que el jefe de estación usara sombrero de copa y colas. Esos días ya pasaron, pero, al pensar en la contracción FitzGerald-Lorentz, me gusta pensar en ser una estación de\( \sum\) ferrocarril en la que reside un jefe de estación en sombrero de copa y colas, mientras que\( \sum'\) es un tren ferroviario.

La longitud de la varilla, referida al marco\( \sum'\), es\( l'=x_{2}'-x_{1}'\), en lo que espero sea obvia notación, y por supuesto estas dos coordenadas se determinan al mismo tiempo referidas\( \sum'\).

La longitud de la varilla referida a un marco en el que se encuentra en reposo se denomina su longitud adecuada. Así\( l'\) es la longitud adecuada de la varilla.

Ahora bien cabe señalar que, según la forma en que hemos definido distancia y tiempo por medio de la transformación de Lorentz, aunque\( x'_{2}\) y\( x'_{1}\) se midan simultáneamente con respecto a\( \sum'\), estos dos eventos (la determinación de las coordenadas de los dos extremos de la varilla) son no simultáneo cuando se refiere al marco\( \sum\) (punto al que volveremos en una sección posterior que trata de simultaneidad). La longitud de la varilla referida al marco\( \sum\) viene dada por\( l=x_{2}-x_{1}\), donde se van a determinar estas dos coordenadas al mismo tiempo cuando se hace referencia\( \sum\). Ahora la Ecuación 15.5.16 nos dice que\( x_{2}=\frac{x'_{2}}{\gamma}+\nu t\) y\( x_{1}=\frac{x'_{1}}{\gamma}+\nu t\). (Los lectores deben anotar esta derivación con mucho cuidado, pues es fácil equivocarse. En particular, tenga muy claro qué se entiende en estas dos ecuaciones por el símbolo\( t\). Es el único instante de tiempo, al que se hace referencia\( \sum\), cuando las coordenadas de los dos extremos se determinan simultáneamente con respecto a\( \sum\).) A partir de estos llegamos al resultado:

\[ l=\frac{l'}{\gamma}. \label{15.9.1} \]

Esta es la contracción FitzGerald-Lorentz.

A veces se describe así: Un tren ferroviario de longitud adecuada 100 yardas pasa por una estación de ferrocarril al 95% de la velocidad de la luz (\( \gamma\)= 3.2026.) Para el jefe de estación el tren “parece” tener una longitud de 31.22 yardas; o el jefe de estación “piensa” que la longitud del tren es de 31.22 yardas; o, “según” el jefe de estación, la longitud del tren es de 31.22 yardas. Esto da una falsa impresión, como si el jefe de estación estuviera bajo algún tipo de malentendido respecto a la longitud del tren, o como si estuviera trabajando bajo algún tipo de ilusión, e introduce algún tipo de “misterio” innecesario en lo que no es más que simple álgebra. De hecho, lo que el jefe de estación “piensa” o “afirma” es totalmente irrelevante. Dos afirmaciones correctas son: 1. La longitud del tren, referida a un marco de referencia en el que se encuentra en reposo —es decir, la longitud adecuada del tren— es de 100 yardas. 2. La longitud del tren cuando se refiere a un marco con respecto al cual se mueve a una velocidad de 0.95\( c\) es de 31.22 yardas. Y eso es todo lo que hay para ello. Cualquier frase como “este observador piensa que” o “según este observador” siempre debe interpretarse de esta manera. No se trata de lo que “piense” un observador. Se trata de qué marco se refiere una medida. Nada más, nada menos.

Es posible describir la contracción de Lorentz-Fitzgerald interpretando las transformaciones de Lorentz como una rotación en el espacio 4. Si es útil hacerlo solo tú puedes decidir. Así, la Figura XV.12 muestra\( \sum\) y se\( \sum'\) relaciona por una rotación de la manera descrita en la Sección 15.7. La línea continua gruesa muestra una varilla orientada de manera que sus dos extremos se dibujan al mismo tiempo con respecto a\( \sum'\). Su longitud es, referida\( sum'\),\( l'\), y esta es su longitud adecuada. La línea punteada gruesa muestra los dos extremos al mismo tiempo con respecto a\( \sum\). Su longitud referida\( \sum\) es\( l=\frac{l'}{\cos\theta}\). Y, ya que\( \cos\theta=\gamma\), que es mayor que 1, esto quiere decir que, a pesar de las apariencias en la Figura,\( l < l'\). La Figura es engañosa porque, como se discute en la Sección 15.7,\( \theta\) es imaginaria. Como digo, solo tú puedes decidir si esta forma de ver la contracción es útil o simplemente confusa. Es, sin embargo, al menos digno de mirarlo, porque voy a estar usando este concepto de rotación en una próxima sección sobre simultaneidad y orden de los acontecimientos. Ilustrar las transformaciones de Lorentz como una rotación como esta se llama diagrama Minkowski.