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LibreTexts Español

15.15: Derivados

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Haremos una pausa aquí y estableceremos algunas derivadas solo como referencia y en caso de que las necesitemos después.

Recordamos que las relaciones de Lorentz son

x=γ(x+νt)

y

t=γ(t+βxc)

De estos enseguida encontramos que

(xx)t=γ;(xt)x=γν;(tx)t=βγc;(tt)x=γ.

Los necesitaremos en futuras secciones.

Precaución

No es imposible equivocarse con algunos de estos derivados si uno permite vagar la atención. Por ejemplo, se podría suponer que, desdexx=γ entonces “obviamente”xx=1γ -y de hecho esto es correcto sit se mantiene constante. No obstante, tenemos que estar seguros de que esto es realmente lo que queremos. Es probable que la dificultad surja si, al escribir una derivada parcial, descuidamos especificar qué variables se mantienen constantes, y no se haría un gran daño insistiendo en que éstas siempre se especifican al escribir una derivada parcial. Si quieres los inversos más que los recíprocos de Ecuaciones15.15.3a,b,c,d la regla, como siempre, es: Intercambiar los símbolos cebados y no cebados y cambiar el signo deν oβ. Por ejemplo, el recíproco de(xx)t es(xx)t, mientras que su inverso es(xx)t. Para completar, y referencia, entonces, escribo todas las posibilidades:

(xx)t=1γ;(tx)x=1γν;(xt)t=cβγ;(tt)x=1γ.

(xx)t=γ;(xt)x=γν;(tx)t=βγc;(tt)x=γ.

(xx)t=1γ;(tx)x=1γν;(xt)t=cβγ;(tt)x=1γ.

Ahora supongamos queψ=ψ(x,t) dondex yt son a su vez funciones (Ecuaciones??? y???) dex yt. Entonces

ψx=xxψt+txψt=γψx+βγcψt

y

ψt=xtψx+ttψt=γνψx+γψt.

El lector sin duda notará que aquí he ignorado mi propio consejo y no he indicado qué variables se van a mantener constantes. Valdría la pena pasar un momento aquí pensando en esto.

Podemos escribir Ecuaciones??? y??? como operadores equivalentes:

x=γ(x+βct)

y

t=γ(νx+t).

También podemos, si lo deseamos, encontrar las segundas derivadas. Así

2ψx2=γ2(2x2+2βc2xt+β2c22t2).

De manera similar obtenemos

2xt=γ2(ν2x2+(1+β2)2xt+βc2t2)

y

2t2=γ2(ν22x2+2ν2xt+2t2).

Los inversos de todas estas relaciones se encuentran intercambiando las coordenadas cebadas y no cebadas y cambiando los signos deν yβ.


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