15.18: Efecto Doppler

Es bien sabido que la fórmula para el efecto Doppler en el sonido es diferente según sea la fuente o el observador que está en movimiento. Una respuesta a la pregunta “¿Por qué debería ser esto?” en el sentido de que “Oh, así es como funciona el álgebra” es obviamente insatisfactorio, así que voy a tratar de explicar por qué, físicamente, hay una diferencia. Entonces, cuando haya entendido a fondo que observador en movimiento es una situación completamente diferente de la fuente en movimiento, y las fórmulas deben ser diferentes, veremos el efecto Doppler en luz, y volveremos al cuadrado cuando encontremos que las fórmulas para fuente en movimiento y observador en movimiento son lo mismo!

Esta sección sobre el efecto Doppler probablemente será bastante más larga de lo necesario, solo porque algunos aspectos me interesaron —pero si le parece demasiado largo, simplemente omita las partes que no son de especial interés para usted. Estos probablemente incluirán las partes en el efecto Doppler balístico.

Primero, nos ocuparemos del efecto Doppler en el sonido. Se supone que todas las velocidades son muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, por lo que no necesitamos molestarnos con las transformaciones de Lorentz. Primero, tratemos con observador en movimiento (Figura XV. 24).

Cuando la fuente está en reposo, emite frentes de onda esféricos concéntricos equidistantes a cierta frecuencia. Cuando un observador se mueve hacia la fuente, pasará estos frentes de onda a una frecuencia mayor que la frecuencia a la que fueron emitidos, y esa es la causa del efecto Doppler con una fuente estacionaria y observador móvil.

Ahora, veremos la situación de la fuente en movimiento. (Figura XV.25).

Aquí vemos que los frentes de onda no están igualmente espaciados, sino que se comprimen por delante del movimiento de la fuente, y por esa razón pasarán un observador estacionario a una frecuencia mayor que la frecuencia a la que fueron emitidos. Así, la naturaleza del efecto es un poco diferente según sea la fuente o el observador el que está en movimiento, y así no se esperaría ecuaciones idénticas para describir las dos situaciones.

Pasaremos en breve para discutir el efecto cuantitativamente y desarrollar las ecuaciones relevantes. Supondré que el lector está familiarizado con la relación habitual que conecta longitud de onda, frecuencia y velocidad de una onda. Sin embargo voy a anotar la relación en letra grande, tres veces, solo para asegurarme:

VELOCIDAD = FRECUENCIA % Longitud

FRECUENCIA = VELOCIDAD ÷ Longitud

Longitud de onda = velocidad ÷ frecuencia

Voy a comenzar con el efecto Doppler en el sonido, donde la velocidad de la señal es constante con respecto al medio que transmite el sonido —generalmente el aire. Voy a dar las fórmulas necesarias para fuente y observador cada uno en movimiento. Si quieres las fórmulas para una u otra estacionaria, solo pones una de las velocidades igual a cero. Las velocidades de la fuente\( S\) y del observador\( O\) relativas al aire se denotarán respectivamente por\( \nu_{1}\) y\( \nu_{2}\) y la velocidad del sonido en el aire se denotará por\( c\). La situación se muestra en la Figura XV.26.

Las fórmulas relevantes se muestran a continuación:

La forma en que trabajamos esta tabla es sólo para seguir las flechas. Comenzando por la parte superior izquierda, suponemos que la fuente emite una señal de frecuencia\( \nu_{0}\). La velocidad de la señal relativa a la fuente es\( c-v_{1}\), y así es la longitud de onda\( \frac{(c-v_{1})}{\nu_{0}}\). La longitud de onda es la misma para el observador (estamos suponiendo que todas las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz, por lo que el factor Lorentz es efectivamente 1.) La velocidad del sonido en relación con el observador es\( c-v_{2}\), y así la frecuencia que escucha el observador es la última entrada (superior derecha) de la tabla.

Dos casos especiales:

a. Observador en movimiento y acercándose a una fuente estacionaria a gran velocidad\( v\). \( v_{1}= 0 \)y\( v_{2}=-v\). En ese caso la frecuencia que escucha el observador es

\[ \nu=\nu_{0}(1+\frac{v}{c}). \label{15.18.1} \]

b. Fuente en movimiento y acercándose a un observador estacionario a velocidad\( v\). \( v_{1}=v\)y\( v_{2}=0\). En ese caso la frecuencia que escucha el observador es

\[ \nu=\frac{\nu_{0}}{(1-\frac{v}{c})}\approx\nu_{0}(1+(\frac{v}{c})+(\frac{v}{c})^{2}+...). \label{15.18.2} \]

Ahora podríamos considerar la reflexión. Así, supongamos que te acercas a una pared de ladrillos a velocidad\( v\) mientras silbas una nota de frecuencia\( \nu_{0}\). ¿Cuál será la frecuencia del eco que oyes? Hagamos la pregunta un poco más general. Una fuente\( S\), emitiendo un silbato de frecuencia\( \nu_{0}\), se acerca a una pared de ladrillo M a velocidad\( v_{1}\). Un observador separado O se acerca a la pared (desde el mismo lado) a velocidad\( v_{2}\). Y, por si acaso, hagamos que la pared de ladrillos se mueva a gran velocidad\( v_{3}\). (El lector puede notar en este punto que la física teórica es más fácil que la física experimental). La situación se muestra en la Figura XV.27.

Construimos una tabla similar a la anterior.

En todo momento, la velocidad relativa al aire es\( c\).

La respuesta a nuestra pregunta inicial, en la que la fuente y el observador eran uno y lo mismo, y el espejo (pared) estaba estacionario se encuentra poniendo\( v_{1}= v_{2}=v\) y\( v_{3}=0\) en la última fórmula (arriba a la derecha) en la tabla. Esto da como resultado

\[ \nu = \nu_{0} \left( \frac{c+v}{c-v}\right) \approx \nu_{0}(1+2(\frac{v}{c})+2(\frac{v}{c})^{2}+2(\frac{v}{c})^{3}...). \label{15.18.3} \]

Tanto para el efecto Doppler en el sonido. Antes de pasar a la luz, quiero mirar lo que llamaré el efecto Doppler en balística, o “policías y ladrones”. Un lector impaciente puede saltarse de manera segura esta discusión sobre el efecto Doppler balístico. Un auto de la policía (“policía”) persigue a un auto robado conducido por ladrones. El carro de policía es la “fuente” y el carro del ladrón (o, más bien el auto que han robado, porque no es de ellos) son los “observadores”. El carro de policía (“fuente”) viaja a velocidad\( v_{1}\) y los ladrones (“observador”) viajan a velocidad\( v_{2}\). Los policías están disparando balas (la “señal”) hacia los ladrones. (Nadie sale lastimado en este experimento de pensamiento, que es todo imaginario). Las balas dejan el hocico del revólver a velocidad\( c\) (es decir, la velocidad de las balas, y no tiene nada que ver con la luz) en relación con el revólver, y de ahí que viajen (relativo a los farolas al costado de la carretera) a velocidad\( c+v_{1}\) y relativo a los ladrones a velocidad\( c+v_{1}-v_{2}\). Los policías disparan balas con frecuencia\( \nu_{0}\), y nuestra tarea es encontrar la frecuencia con la que los balazos son “recibidos” por los ladrones. La distancia entre las balas es la “longitud de onda”.

Este puede no ser un ejercicio muy importante, pero no es del todo inútil, ya que la equidad dicta que, cuando estamos considerando (aunque sólo sea para descartar) posibles mecanismos plausibles para la propagación de la luz, podríamos considerar, al menos brevemente, la llamada teoría “balística” de la propagación de la luz, en que la velocidad de la luz a través del espacio es igual a la velocidad a la que sale de la fuente más la velocidad de la fuente. Algunos lectores pueden estar al tanto del experimento de Michelson-Morley. Ese experimento demostró que la luz no se propagaba a una velocidad constante con respecto a algún “aether luminífero” omnipresente —pero hay que señalar que no hizo nada para probar o desmentir la teoría “balística” de la propagación de la luz, ya que no midió la velocidad de la luz al moverse fuentes. En los años transcurridos, efectivamente se han hecho algunos intentos para medir la velocidad de la luz procedente de fuentes móviles, aunque su interpretación no ha estado exenta de ambigüedad.

Ahora construyo una tabla que muestre la “frecuencia”, “velocidad” y “longitud de onda” para la propagación balística exactamente de la misma manera que lo hice para el sonido.

Para no dedicar más tiempo a la propagación “balística” de lo que justifica su importancia, simplemente dejaré que el lector dedique tanto o tan poco tiempo reflexionando sobre esta mesa como desee. Solo podría señalarse un pequeño punto, a saber, que las fórmulas para “observador en movimiento” y “fuente en movimiento” son las mismas.

Para completar más que para cualquier aplicación importante, construiré aquí también la tabla para “reflexión”. Una fuente de balas se acerca a un espejo a gran velocidad\( v_{1}\). An observer is also approaching the mirror, from the same side, at speed \( v_{2}\). And the mirror is moving at speed \( v_{3}\), and reflection is elastic (the coefficient of restitution is 1.) You are free to put as many of these speeds equal to zero as you wish.

The entries for “speed” give the speed relative to the source or mirror or observer. The speed relative to stationary lampposts at the side of the road is \( c+v_{1}\) before reflection and \( c+v_{1}-2v_{3}\) after reflection.

We now move on to the only aspect of the Doppler effect that is really relevant to this chapter, namely the Doppler effect in light. In the previous two situations I have been able to assume that all speeds were negligible compared with the speed of light, and we have not had to concern ourselves with relativistic effects. Here, however, the signal is light and is propagated at the speed of light, and this speed is the same whether referred to the reference frame in which the source is stationary or the observer is stationary. Further, the Doppler effect is noticeable only if source or observer are moving at speeds comparable to that of light. We shall see that the difference between the frequency of a signal relative to an observer and the frequency relative to the source is the result of two effects, which, while they may be treated separately, are both operative and in that sense inseparable. These two effects are the Doppler effect proper, which is a result of the changing distance between source and observer, and the relativistic dilation of time.

I am going to use the symbol \( T\) to denote the time interval between passage of consecutive crests of an electromagnetic wave. I’ll call this the period. This is merely the reciprocal of the frequency \( \nu\). I am going to start by considering a situation in which a source and an observer a receding from each other at a speed \( v\). I have drawn this in Figure XV.27, which is referred to a frame in which the observer is at rest. The speed of light is \( c\).

Let us suppose that \( S\) emits an electromagnetic wave of period \( T_{0}=\frac{1}{\nu_{0}}\) referred to the frame in which \( S\) is at rest. We are going to have to think about four distinct periods or frequencies:

1. The time interval between the emission of consecutive crests by \( S\) referred to the reference frame in which \( S\) is at rest. This is the period \( T_{0}\) and the frequency \( \nu_{0}\) that we have just mentioned.

2. The time interval between the emission of consecutive crests by \( S\) referred to the reference frame in which \( O\) is at rest. By the relativistic formula for the dilation of time this is

\[ \gamma T_{0} \quad or \quad \frac{T_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}. \label{15.18.4} \]

3. The time interval between the reception of consecutive crests by \( O\) as a result of the increasing distance between \( O\) and \( S\) (the “true” Doppler effect, as distinct from time dilation) referred to the reference frame in which \( S\) is at rest. This is

\[ T_{0}(1+\frac{v}{c}). \label{15.18.5} \]

4. The time interval between the reception of consecutive crests by \( O\) as a result of the increasing distance between \( O\) and \( S\) (the “true” Doppler effect, as distinct from time dilation) referred to the reference frame in which \( O\) is at rest. This is

\[ \gamma \quad \text{times} \quad T_{0}\left(1+\frac{v}{c}\right). \label{15.18.6} \]

This, of course, is what \( O\) “observes”, and, when you do the trivial algebra, you find that this is

\[ T=T_{0}\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}, \label{15.18.7} \]

or, in terms of frequency,

\[ \nu=\nu_{0}\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}. \label{15.18.8} \]

If source and observer approach each other at speed \( v\), the result is

\[ \nu=\nu_{0}\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}. \label{15.18.9} \]

The factor \( \sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}\) is often denoted by the symbol \( k\), and indeed that was the symbol \( I\) used in Section 15.3 (see Equation 15.3.3).

Exercise \(\PageIndex{1}\)

Expand Equation \( \ref{15.18.9}\) by the binomial theorem as far as \( (\frac{v}{c})^{2}\) and compare the result with Equations \( \ref{15.18.1}\) and \( \ref{15.18.2}\).

I make it

\[ \nu = \nu_{0}(1+(\frac{v}{c})+\frac{1}{2}(\frac{v}{c})^{2}...). \label{15.18.10} \]

Exercise \(\PageIndex{2}\)

An observer \( O\) sends an electromagnetic signal of frequency \( \nu_{0}\) at speed \( c\) to a mirror that is receding at speed \( v\). When the reflected signal arrives back at the observer, what is its frequency (to first order in \( \frac{v}{c}\))? Is it \( \nu_{0}(1-\frac{v}{c})\) or is it \( \nu_{0}(1-\frac{2v}{c})\)?

Puedo pensar de inmediato en dos aplicaciones de esto. Si examinas el espectro solar de Fraunhofer reflejado en la extremidad ecuatorial de un planeta giratorio, y observas el cambio fraccionario\( \frac{\Delta\nu}{\nu_{0}}\) en la frecuencia de una línea de espectro, ¿te dirá esto\( \frac{v}{c}\) o\( \frac{2v}{c}\), dónde\( v\) está la velocidad ecuatorial de la superficie del planeta? Y si un policía dirige un haz de radar a tu auto, ¿la frecuencia del haz de retorno le dice la velocidad de tu auto, o el doble de su velocidad? Podrías intentar argumentar este caso en los tribunales —o, mejor, atenerse al límite de velocidad para que no sea necesario hacerlo. La respuesta, por cierto, es\( \nu_{0}(1-\frac{2v}{c})\).

Desplazamiento al rojo. Cuando una galaxia se aleja de nosotros, una línea espectral de longitud de onda de laboratorio\( \lambda_{0}\) parecerá tener una frecuencia para el observador de\( \lambda=k\lambda_{0}\). El aumento fraccionario en la longitud de onda generalmente\( \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda_{0}}\) se le da el símbolo\( z\), que evidentemente es igual a\( k-1\). (Solo a primer orden en\( \beta\) es aproximadamente igual a\( \beta\). Es importante señalar que la definición de\( z\) es\( \frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda_{0}}\), y no\( \frac{v}{c}\).

Una nota sobre terminología: Si una fuente está retrocediendo del observador, se observa que la luz se desplaza hacia longitudes de onda más largas, y si se acerca al observador, la luz se desplaza hacia longitudes de onda más cortas. Tradicionalmente, un cambio a longitudes de onda más largas se llama “desplazamiento al rojo”, y un desplazamiento hacia longitudes de onda más cortas se llama “desplazamiento azul”. Tenga en cuenta, sin embargo, que si una fuente infrarroja se acerca a un observador, su luz se desplaza hacia el rojo, y si una fuente ultravioleta retrocede de un observador, ¡su luz se desplaza hacia el azul! Sin embargo, continuaré en este capítulo refiriéndome a los cambios a longitudes de onda más largas y más cortas como corrimientos al rojo y corrimientos azules respectivamente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una galaxia roja R de longitud de onda de 680.0 nm y una galaxia verde G de longitud de onda 520.0 nm están en lados opuestos de un observador X, ambos retrocediendo de él/ella. Para el observador, la longitud de onda de la galaxia roja parece ser de 820.0 nm, y la longitud de onda de la galaxia verde parece ser de 640.0 nm. ¿Cuál es la longitud de onda de la galaxia verde vista desde la galaxia roja?

Solución

Se nos dice que\( k\) para la galaxia roja es 82/68 = 1.20588, o\( z\) = 0.20588, y que\( k\) para la galaxia verde\( k\) es 64/52 = 1.23077, o\( z\) = 0.23077. Debido a la preparación que hicimos en la Sección 15.3, podemos convertirlos instantáneamente a\( \phi\). Así para la galaxia roja\( \phi\) = 0.187212 y para la galaxia verde\( \phi\) = 0.207639. La suma de estos es 0.394851. Podemos convertir instantáneamente esto a\( k = 1.48416\) o\( z = 0.48416.\). Así, como se ve a partir de R, la longitud de onda de G es 771.8 nm.

Alternativamente.

Demostrar que el factor k combina como

\[ k_{1} \oplus k_{2} =k_{1}k_{2} \label{15.18.11} \]

y verificarlo\( \frac{82}{68}\times\frac{64}{52}=1.48416\). Mostrar también que el factor de corrimiento al rojo se\( z\) combina como

\[ z_{1} \oplus z_{2} =z_{1}z_{2}+z_{1}+z_{2}. \label{15.18.12} \]