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15.20: Aceleración

Última actualización

30 oct 2022
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- 15.19: Los efectos Doppler Transversal y Oblicua
- 15.21: Masa

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La Figura XV.33 muestra dos fotogramas de referencia $\Sigma'$ , $\Sigma$ y, este último moviéndose a velocidad $v$ con respecto al primero.

alt

Una partícula se mueve con aceleración $\bf{a'}$ en $\Sigma'$ . (“in $\Sigma'$ ” = “referido al marco de referencia $\Sigma'$ ”.) La velocidad no está necesariamente, por supuesto, en la misma dirección que la aceleración, y supondremos que su velocidad en $\Sigma'$ es $\bf{u'}$ . Los componentes de aceleración y velocidad en $\Sigma'$ son $a'_{x'}, a'_{y'}, u'_{x'}, u'_{y'}$ .

¿En qué consiste la aceleración de la partícula $\Sigma$ ? Comenzaremos con el $x$ -componente.

El $x$ -componente de su aceleración en $\Sigma$ viene dado por

$a_{x}=\frac{du_{x}}{dt}, \label{15.20.1}$

donde

$u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{u_{x}'v}{c^{2}}} \label{15.16.2}$

$t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19}\tag{15.5.19}$

Las ecuaciones 15.16.2 y 15.5.19 nos dan

$du_{x}=\frac{du_{x}}{du'_{x}}du'_{x}=\frac{du'_{x}}{\gamma^{2}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{2}} \label{15.20.2}$

$dt\ =\frac{\partial t}{\partial t'}dt'+\frac{\partial t}{\partial x'}dx'=\gamma dt'\ +\ \frac{\gamma v}{c^{2}}dx' \label{15.20.3}$

Al sustituir estos en Ecuación $\ref{15.20.1}$ y un álgebra muy poco, obtenemos

$a_{x}=\frac{a'}{\gamma^{3}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{3}} \label{15.20.4}$

El $y$ -componente de su aceleración en $\Sigma$ viene dado por

$a_{y}=\frac{du_{y}}{dt}, \label{15.20.5}$

Ya hemos elaborado el denominador $dt$ (Ecuación $\ref{15.20.3}$ ). Sabemos que

$u_{y}=\frac{u'_{y'}}{\gamma(1+\frac{u'_{x'}v}{c^{2}})} \label{15.16.3}\tag{15.16.3}$

de la cual

$du_{y}=\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{x'}}+\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{y'}}\partial u'_{y'}=\frac{1}{\gamma}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}du'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}du'_{y'}\right). \label{15.20.6}$

Dividir Ecuación $\ref{15.20.6}$ por Ecuación $\ref{15.20.3}$ para obtener

$a_{y}=\frac{1}{\gamma^{2}}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}a'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}a'_{y'}\right). \label{15.20.7}$

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