15.20: Aceleración

La Figura XV.33 muestra dos fotogramas de referencia$\Sigma'$,$\Sigma$ y, este último moviéndose a velocidad$v$ con respecto al primero.

Una partícula se mueve con aceleración$\bf{a'}$ en$\Sigma'$. (“in$\Sigma'$” = “referido al marco de referencia$\Sigma'$”.) La velocidad no está necesariamente, por supuesto, en la misma dirección que la aceleración, y supondremos que su velocidad en$\Sigma'$ es$\bf{u'}$. Los componentes de aceleración y velocidad en$\Sigma'$ son$a'_{x'}, a'_{y'}, u'_{x'}, u'_{y'}$.

¿En qué consiste la aceleración de la partícula$\Sigma$? Comenzaremos con el$x$ -componente.

El$x$ -componente de su aceleración en$\Sigma$ viene dado por

$$a_{x}=\frac{du_{x}}{dt}, \label{15.20.1}$$

donde

$$u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{u_{x}'v}{c^{2}}} \label{15.16.2}$$

y

$$t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19}\tag{15.5.19}$$

Las ecuaciones 15.16.2 y 15.5.19 nos dan

$$du_{x}=\frac{du_{x}}{du'_{x}}du'_{x}=\frac{du'_{x}}{\gamma^{2}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{2}} \label{15.20.2}$$

y

$$dt\ =\frac{\partial t}{\partial t'}dt'+\frac{\partial t}{\partial x'}dx'=\gamma dt'\ +\ \frac{\gamma v}{c^{2}}dx' \label{15.20.3}$$

Al sustituir estos en Ecuación$\ref{15.20.1}$ y un álgebra muy poco, obtenemos

$$a_{x}=\frac{a'}{\gamma^{3}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{3}} \label{15.20.4}$$

El$y$ -componente de su aceleración en$\Sigma$ viene dado por

$$a_{y}=\frac{du_{y}}{dt}, \label{15.20.5}$$

Ya hemos elaborado el denominador$dt$ (Ecuación$\ref{15.20.3}$). Sabemos que

$$u_{y}=\frac{u'_{y'}}{\gamma(1+\frac{u'_{x'}v}{c^{2}})} \label{15.16.3}\tag{15.16.3}$$

de la cual

$$du_{y}=\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{x'}}+\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{y'}}\partial u'_{y'}=\frac{1}{\gamma}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}du'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}du'_{y'}\right). \label{15.20.6}$$

Dividir Ecuación$\ref{15.20.6}$ por Ecuación$\ref{15.20.3}$ para obtener

$$a_{y}=\frac{1}{\gamma^{2}}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}a'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}a'_{y'}\right). \label{15.20.7}$$