15.25: Adición de Energías Cinéticas
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Considere las partículas en la figura XV.37, en la que se muestran las velocidades relativas al espacio de laboratorio.
Referido al espacio de laboratorio, la energía cinética es\( \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2}\). Sin embargo, el centro de masa se mueve hacia la derecha con velocidad\( V=\frac{(m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2})}{(m_{1}+m_{2})}\), y, referido al espacio del centro de masa, la energía cinética es\( \frac{1}{2}m_{1}(u_{1}-V)^{2}+\frac{1}{2}m(u_{2}+V)^{2}\). Por otro lado, si referimos la situación a un marco en el que\( m_{1}\) está en reposo, la energía cinética es\( \frac{1}{2}m_{2}(u_{1}+u_{2})^{2}\), y, si referimos la situación a un marco en el que\( m_{2}\) está en reposo, la energía cinética es\( \frac{1}{2}m_{1}(u_{1}+u_{2})^{2}\).
Todo lo que estamos diciendo es que la energía cinética depende del marco al que se refiera la velocidad —y esto no es algo que surja sólo para velocidades relativistas.
Pongamos algunos números. Supongamos, por ejemplo, que
\( m_{1} = 3\)kg\( u_{1} = 4\) m s -1
\( m_{2} = 2\)kg\( u_{3} = 4\) m s -1
para que
\( V = 1.2\)m s -1.
En ese caso, la energía cinética
referido al espacio de laboratorio es 33 J,
referido al espacio del centro de masa es 29.4 J,
al que se hace referencia\( m_{1}\) es 49 J,
al que se hace referencia\( m_{2}\) es 73.5 J.
En este caso la energía cinética es menor cuando se refiere al espacio del centro de masa, y es mayor cuando se refiere a la masa menor.
Ejercicio. ¿Esto siempre es así, cualesquiera que sean los valores de m 1, m 2, u 1 y u 2?
Puede valer la pena mirar el caso especial en el que las dos masas son iguales (m) y las dos velocidades (ya sea en laboratorio o en el espacio del centro de masa) son iguales (u).
En ese caso la energía cinética en laboratorio o centro de masa espacial es mu 2, mientras que referida a cualquiera de las masas es de 2 mu 2.
Ahora veremos el mismo problema para las partículas que viajan a velocidades relativistas, y veremos que la energía cinética referida a un marco en el que una de las partículas está en reposo es mucho mayor que (no meramente dos veces) la energía referida a un marco de centro de masa.
Si dos partículas se mueven una hacia la otra con “velocidades” dadas por g 1 y g 2 en el espacio del centro de masa, la g de una relativa a la otra viene dada por la ecuación 15.16.14, y, dado que K = g - 1, se deduce que si el dos partículas tienen energías cinéticas K1 y K2 en el espacio del centro de masa (en unidades del m 0 c 2 de cada una), entonces la energía cinética de una relativa a la otra es
\[ K=K_{1} \oplus K_{2} = K_{1}+K_{2}+K_{1}K_{2}+\sqrt{K_{1}K_{2}(K_{1}+2)(K_{2}+2)}. \label{12.25.1} \]
Si dos partículas idénticas, cada una de los\( K_{1}\) tiempos de energía cinética\( m_{0}c^{2}\), se acercan entre sí, la energía cinética de una relativa a la otra es
\[ K=2K_{1}(K_{1}+2). \label{15.25.2} \]
Para velocidades no relativistas como\( K_{1}\rightarrow 0\), esto tiende a\( K=4K_{1}\), como se esperaba.
Supongamos que dos protones se acercan entre sí al 99% de la velocidad de la luz en el centro del espacio de masas (\( K_{1}\)= 6.08881). Referido a un cuadro en el que un protón está en reposo, la energía cinética del otro será\( K\) = 98.5025, siendo las velocidades relativas 0.99995 veces la velocidad de la luz. Así,\( K=16K_{1}\) más que meramente\( 4K_{1}\) como en el cálculo no relativista. Para partículas más energéticas, la proporción\( \frac{K}{K_{1}}\) es aún mayor. Estos cálculos se ven muy facilitados si escribiste, como se sugiere en la Sección 15.3, un programa que conecta instantáneamente todos los factores de relatividad que ahí se dan.
Dos protones se acercan entre sí, cada uno con una energía cinética de 500 GeV en laboratorio o en el espacio del centro de masas. (Dado que las dos masas de descanso son iguales, estos DOS espacios son idénticos.) ¿Cuál es la energía cinética de un protón en un marco en el que el otro está en reposo?
(Respuesta: Lo hago 535 TeV.)
El factor\( K\) (la energía cinética en unidades de\( m_{0}c^{2}\)) es el último de varios factores utilizados en este capítulo para describir la velocidad a la que se mueve una partícula, y aprovecho aquí para resumir las fórmulas que se han derivado en el capítulo para combinar estas diversas medidas de velocidad. Estos son
\[ \beta_{1}\oplus\beta_{2}=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}. \label{15.16.7}\tag{15.16.7} \]
\[ \gamma_{1}\oplus\gamma_{2}=\gamma_{1}\gamma_{2}+\sqrt{(\gamma_{1}^{2}-1)(\gamma_{2}^{2}-1)}. \label{15.16.14}\tag{15.16.14} \]
\[ k_{1}\oplus k_{2}=k_{1}k_{2} \label{15.18.11}\tag{15.18.11} \]
\[ z_{1}\oplus z_{2}=z_{1}z_{2}+z_{1}+z_{2}. \label{15.18.12}\tag{15.18.12} \]
\( K=K_{1} \oplus K_{2} = K_{1}+K_{2}+K_{1}K_{2}+\sqrt{K_{1}K_{2}(K_{1}+2)(K_{2}+2)}\).
\[ \frac{\phi_{1}}{\phi_{2}}=\phi_{1}+\phi_{2} \label{15.16.11}\tag{15.16.11} \]
Si las dos velocidades a combinar son iguales, éstas se convierten en
\[ \beta_{1}\oplus\beta_{1}=\frac{2\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}}. \label{12.25.3} \]
\[ \gamma_{1}\oplus\gamma_{1}=2\gamma_{1}^{2}-1 \label{12.25.4} \]
\[ \frac{k_{1}}{k_{1}}=k_{1}^{2} \label{12.25.5} \]
\[ z_{1}\oplus z_{1}=z_{1}(z_{1}+2) \label{12.25.6} \]
\[ K_{1}\oplus K_{1}=2K_{1}(K_{1}+2). \label{12.25.7} \]
\[ \phi_{1}\oplus\phi_{1}=2\phi. \label{12.25.8} \]
Estas fórmulas son útiles, pero para ejemplos numéricos, si ya tienes un programa para interconvertir entre todos estos factores, la forma más fácil y rápida de combinar dos “velocidades” es convertirlas a\( \phi\). Hemos visto ejemplos de cómo funciona esto en las Secciones 15.16 y 15.18. Podemos hacer lo mismo con nuestro ejemplo de la presente sección al combinar dos energías cinéticas. Así estábamos combinando dos energías cinéticas en el espacio de laboratorio, cada una de magnitud\( K_{1}\) = 6.08881 (\( \phi_{1}\)= 2.64665). De esto,\( \phi\) = 5.29330, lo que corresponde a\( K\) = 98.5025.