15.27: Energía e Momentum

Una partícula en movimiento tiene energía que surge de su impulso y también de su masa de reposo, y necesitamos encontrar una expresión que relacione la energía con la masa de reposo y el impulso. Es bastante fácil y va así:

$E^{2}=m^{2}c^{4}=c^{2}(m^{2}c^{2}-m^{2}u^{2}+m^{2}u^{2})=c^{2}[m^{2}(c^{2}-u^{2})+p^{2}]$

$=c^{2}\left(\frac{m_{0}^{2}(c^{2}-u^{2})}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}+p^{2}\right)=c^{2}(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})$

Así obtenemos para la energía en términos de masa de descanso e impulso

$$E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}. \label{15.27.1}$$

Si la velocidad (y por lo tanto el impulso) es cero, la energía es meramente$m_{0}c^{2}$. Si la masa de reposo es cero (como, por ejemplo, un fotón) y la energía no es cero, entonces$E\ =\ pc\ =\ muc$. Pero también$E=mc^{2}$, para que, si la masa restante de una partícula es cero y la energía no lo es, la partícula debe estar moviéndose a la velocidad de la luz. Esto podría considerarse como la razón por la que los fotones, que tienen masa de reposo cero, viajan a la velocidad de los fotones. Si los neutrinos tienen masa de reposo cero, ellos también viajarán a la velocidad de la luz; si no son sin masa, no lo harán.

Además de la Ecuación$\ref{15.27.1}$, que relaciona la energía con la magnitud del impulso, será de interés ver cómo los componentes del impulso se transforman entre marcos de referencia. Como es habitual, estamos considerando marco$\Sigma'$ para estar moviéndose con respecto a$\Sigma$ a una velocidad$v$ con respecto a$\Sigma$. No hay dificultad con los componentes$y$ - y$z$ -. Tenemos meramente$p'_{y'}=p_{y}$ y$p'_{z'}=p_{z}$. Sin embargo:

$p_{x}=mu_{x}=\frac{m_{0}u_{x}}{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}$y$p'_{x'}=m'u'_{x'}=\frac{m_{0}u'_{x'}}{\left(1-\frac{u_{x'}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}$.

También$u'_{x'}=\frac{u_{x}-v}{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)}$, a partir de la cual$\left(1-\frac{u'^{2}_{x'}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}$.

Después de un poco de álgebra, obtenemos

$p_{x}=\frac{m_{0}(u_{x}-v)}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}.$

Y esto es

$$p'_{x'}=\frac{p_{x}-\frac{vE}{c^{2}}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\gamma\left(p_{x}-\frac{vE}{c^{2}}\right) \label{15.27.2}$$

La inversa se encuentra de la manera habitual:

$$p_{x}=\gamma\left(p'_{x'}+\frac{vE'}{c^{2}}\right) \label{15.27.3}$$

Si eliminamos$p'_{x'}$ de Ecuaciones$\ref{15.27.2}$ y$\ref{15.27.3}$, encontraremos$E'$ en términos de$E$ y$p_{x}$:

$$E'=\gamma(E-vp_{x}). \label{15.27.4}$$

Así, las transformaciones entre la energía y los tres componentes espaciales del momento son similares a la transformación entre el tiempo y las tres coordenadas espaciales, y son descritas por un 4-vector similar:

$$\begin{pmatrix} p'_{x'} \\ p'_{y'} \\ p'_{z'} \\ \frac{iE'}{c}\end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} \gamma&0&0&i\beta\gamma \\\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\beta\gamma&0&0&\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \\ \frac{iE}{c}\end{pmatrix}. \label{15.27.5}$$

El lector debe multiplicar esto para verificar que sí reproduce Ecuaciones$\ref{15.27.3}$ y$\ref{15.27.4}$.