15.27: Energía e Momentum

Una partícula en movimiento tiene energía que surge de su impulso y también de su masa de reposo, y necesitamos encontrar una expresión que relacione la energía con la masa de reposo y el impulso. Es bastante fácil y va así:

\( E^{2}=m^{2}c^{4}=c^{2}(m^{2}c^{2}-m^{2}u^{2}+m^{2}u^{2})=c^{2}[m^{2}(c^{2}-u^{2})+p^{2}]\)

\( =c^{2}\left(\frac{m_{0}^{2}(c^{2}-u^{2})}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}+p^{2}\right)=c^{2}(m_{0}^{2}c^{2}+p^{2})\)

Así obtenemos para la energía en términos de masa de descanso e impulso

\[ E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}. \label{15.27.1} \]

Si la velocidad (y por lo tanto el impulso) es cero, la energía es meramente\( m_{0}c^{2}\). Si la masa de reposo es cero (como, por ejemplo, un fotón) y la energía no es cero, entonces\( E\ =\ pc\ =\ muc\). Pero también\( E=mc^{2}\), para que, si la masa restante de una partícula es cero y la energía no lo es, la partícula debe estar moviéndose a la velocidad de la luz. Esto podría considerarse como la razón por la que los fotones, que tienen masa de reposo cero, viajan a la velocidad de los fotones. Si los neutrinos tienen masa de reposo cero, ellos también viajarán a la velocidad de la luz; si no son sin masa, no lo harán.

Además de la Ecuación\( \ref{15.27.1}\), que relaciona la energía con la magnitud del impulso, será de interés ver cómo los componentes del impulso se transforman entre marcos de referencia. Como es habitual, estamos considerando marco\( \Sigma'\) para estar moviéndose con respecto a\( \Sigma\) a una velocidad\( v\) con respecto a\( \Sigma\). No hay dificultad con los componentes\( y\) - y\( z\) -. Tenemos meramente\( p'_{y'}=p_{y}\) y\( p'_{z'}=p_{z}\). Sin embargo:

\( p_{x}=mu_{x}=\frac{m_{0}u_{x}}{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}\)y\( p'_{x'}=m'u'_{x'}=\frac{m_{0}u'_{x'}}{\left(1-\frac{u_{x'}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}\).

También\( u'_{x'}=\frac{u_{x}-v}{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)}\), a partir de la cual\( \left(1-\frac{u'^{2}_{x'}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{\left(1-\frac{u_{x}^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}\).

Después de un poco de álgebra, obtenemos

\( p_{x}=\frac{m_{0}(u_{x}-v)}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}.\)

Y esto es

\[ p'_{x'}=\frac{p_{x}-\frac{vE}{c^{2}}}{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\gamma\left(p_{x}-\frac{vE}{c^{2}}\right) \label{15.27.2} \]

La inversa se encuentra de la manera habitual:

\[ p_{x}=\gamma\left(p'_{x'}+\frac{vE'}{c^{2}}\right) \label{15.27.3} \]

Si eliminamos\( p'_{x'}\) de Ecuaciones\( \ref{15.27.2}\) y\( \ref{15.27.3}\), encontraremos\( E'\) en términos de\( E\) y\( p_{x}\):

\[ E'=\gamma(E-vp_{x}). \label{15.27.4} \]

Así, las transformaciones entre la energía y los tres componentes espaciales del momento son similares a la transformación entre el tiempo y las tres coordenadas espaciales, y son descritas por un 4-vector similar:

\[ \begin{pmatrix} p'_{x'} \\ p'_{y'} \\ p'_{z'} \\ \frac{iE'}{c}\end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} \gamma&0&0&i\beta\gamma \\\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\beta\gamma&0&0&\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \\ \frac{iE}{c}\end{pmatrix}. \label{15.27.5} \]

El lector debe multiplicar esto para verificar que sí reproduce Ecuaciones\( \ref{15.27.3}\) y\( \ref{15.27.4}\).