15.29: Fuerza

La fuerza se define como la tasa de cambio de impulso, y deseamos encontrar la transformación entre las fuerzas referidas a los marcos en movimiento relativo uniforme de tal manera que esta relación se mantenga en todos esos marcos.

Supongamos que$\Sigma'$, en, una masa tiene masa instantánea$m'$ y velocidad cuyos componentes instantáneos son$u'_{x'}$ y$u'_{y'}$. Si una fuerza actúa sobre ella, entonces la velocidad y por lo tanto también la masa son funciones del tiempo. El$x$ -componente de la fuerza viene dado por

$$F'_{x'}=\frac{d}{dt}(m'u'_{x'}). \label{15.29.1}$$

Queremos expresar todo por el lado derecho en cuanto a cantidades sin imprimar. Así, a partir de la Ecuación 15.21.8 y la inversa de la Ecuación 15.16.2, obtenemos

$$m'u'_{x'}=m\gamma(u_{x}-v). \label{15.29.2}$$

También

$$\frac{d}{dt'}=\frac{dt}{dt'}\frac{d}{dt} \label{15.29.3}$$

Primero evaluemos$\frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)$. En esta expresión,$v$ y$\gamma$ son independientes del tiempo (el marco$\Sigma'$ se mueve a velocidad constante con relación a$\Sigma$), y$\frac{d}{dt}$ de$mu_{x}$ es el$x$ -componente de la fuerza en$\Sigma$, es decir$F_{x}$. Así

$$\frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)=\gamma\left(F_{x}-v\frac{dm}{dt}\right). \label{15.29.4}$$

Ahora necesitamos evaluar$\frac{d}{dt'}$ en términos de cantidades no imprimadas. Si empezamos con

$$dt'=\left(\frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{t}dx+\left(\frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x}dt \label{15.29.6}$$

y evaluaremos$\frac{dt'}{dt}$ cuál, al ser un derivado total, es el recíproco de$\frac{dt}{dt'}$. Las derivadas parciales están dadas por las Ecuaciones 15.15.3j, k y l, mientras que$\frac{dx}{dt}=u_{x}$. De ahí que obtengamos

$$\frac{dt}{dt'}=\frac{1}{\gamma\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)}. \label{15.29.7}$$

Así llegamos a

$$F'_{x'}=\frac{F_{x}-v\left(\frac{dm}{dt}\right)}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}} \label{15.29.8}$$

La masa no es constante ($\frac{dm}{dt}$es decir, no es cero) porque hay una fuerza que actúa sobre el cuerpo, y tenemos que relacionar el término$\frac{dm}{dt}$ con la fuerza. En algún instante cuando la fuerza y la velocidad (in$\Sigma$) son$\bf{F}$ y$\bf{u}$, la velocidad a la que$\bf{F}$ está haciendo el trabajo en el cuerpo es$\bf{F*u}$$=F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}$ y esto es igual a la tasa de aumento de la energía del cuerpo, que es$\dot{m}c^{2}$. (En la Sección 15.24, al derivar la expresión de energía cinética, escribí que la tasa de trabajo era igual a la tasa de incremento de la energía cinética. Ahora acabo de escribir que es igual a la tasa de incremento de la energía (total). ¿Cuál es la razón?)

$$\frac{dm}{dt}=\frac{1}{c^{2}}(F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}). \label{15.29.9}$$

Sustituya esto en Ecuación$\ref{15.29.8}$ y, después de un poco más de álgebra, finalmente obtenemos la transformación para$F'_{x'}$:

$$F'_{x'}=F_{x}-\frac{v}{c^{2}-u_{x}v}(u_{y}F_{y}+u_{z}F_{z}). \label{15.29.10}$$

Los$z'-$ componentes$y'-$ y son un poco más fáciles, y lo dejo como ejercicio para demostrar que

$$F'_{y'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{y} \label{15.29.11}$$

$$F'_{z'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{z}. \label{15.29.12}$$

Como es habitual, las transformaciones inversas se encuentran intercambiando las cantidades cebadas y no cebadas y cambiando el signo de$v$.

La fuerza sobre una partícula y su aceleración resultante no están en general en la misma dirección, porque la masa no es constante. (La segunda ley de Newton no es$\bf{F}=m\bf{a}$; lo es$\bf{F}=\bf{\dot{p}}$) Así

$$\textbf{F}=\frac{d}{dt}(m\textbf{u})=m\textbf{a}+\dot{m}\textbf{u}. \label{15.29.13}$$

Aquí

$$m=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \label{15.29.14}$$

y así

$$\dot{m}=\frac{m_{0}ua}{c^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}. \label{15.29.15}$$

Así

$$\textbf{F}=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \left(\textbf{a}+\frac{ua}{c^{2}-u^{2}}\textbf{u}\right). \label{15.29.16}$$