16.8: Algunos ejemplos simples
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Como señalamos en la introducción a este capítulo, este capítulo es menos exigente que algunos de los otros, y de hecho ha sido bastante trivial hasta el momento. Solo para mostrar lo fácil que es el tema, aquí hay algunos ejemplos rápidos.
Un recipiente cilíndrico de área transversal A está parcialmente lleno de agua. Una masa\( m\) de hielo flota en la superficie. La densidad del agua es\( \rho_{0}\) y la densidad del hielo es\( \rho\). Calcular el cambio en el nivel del agua cuando el hielo se derrite, e indica si el nivel del agua sube o baja.
Un corcho de masa\( m\), densidad\( \rho\), se sostiene bajo el agua (densidad\( \rho_{0}\)) por una cuerda. Calcular la tensión en la cuerda. Calcular la aceleración inicial si se corta la cuerda.
Un trozo de plomo (masa\( m\), densidad\( \rho\)) se sostiene colgando en el agua (densidad\( \rho_{0}\)) por dos cuerdas como se muestra. Calcular la tensión en las cuerdas.
Un hidrómetro (para nuestros fines un hidrómetro es una varilla de madera ponderada en el fondo para mayor estabilidad cuando flota verticalmente) flota en equilibrio a una profundidad\( z_{1}\) en agua de densidad\( \rho_{1}\). Si se agrega sal al agua para que la nueva densidad sea\( \rho_{2}\), ¿cuál es la nueva profundidad\( z_{2}\)?
Una masa\( m\), densidad\( \rho\), cuelga en un fluido de densidad\( \rho_{0}\) del techo de un elevador (elevador). El elevador acelera hacia arriba a una velocidad\( a\). Calcular la tensión en la cuerda.
Un hidrómetro de masa\( m\) y área transversal\( A\) flota en equilibrio hacer una profundidad\( h\) en un líquido de densidad\( \rho\). Luego, el hidrómetro se empuja suavemente hacia abajo y se libera. Determinar el periodo de oscilación.
Una varilla de longitud\( l\) y densidad\( s\rho\) (\( s<1\)) flota en un líquido de densidad\( \rho\). Un extremo de la varilla se levanta a través de una altura\( yl\) para que\( xl\) quede sumergido un largo. Lo he dibujado con la cuerda vertical. ¿Debe ser?)
i. Encontrar\( x\) en función de\( s\).
ii. Encontrar\( \theta\) en función de\( y\) y\( s\).
iii. Encuentra la tensión\( T\) en la cuerda en función de\( m,\ g\) y\( s\).
Dibuja las siguientes gráficas:
a.\( x\) y\( \frac{T}{(mg)}\) versus\( s\).
b.\( \theta\) versus\( y\) para varios\( s\).
c.\( \theta\) versus\( s\) para varios\( y\).
d.\( x\) versus\( y\) para varios\( s\).
e.\( \frac{T}{(mg)}\) versus\( y\) para varios\( s\).
1. No, no lo hace.
2. \( T=\left(\frac{\rho_{0}-\rho}{\rho}\right)mg\)
3. \( T_{1}=\frac{\left(\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho}\right)mg}{\cos\theta_{1}+\frac{\sin\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}}\)\( T_{2}=\frac{\left(\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho}\right)mg}{\cos\theta_{2}+\frac{\sin\theta_{2}}{\tan\theta_{1}}}\)
4. \( z_{2}=\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}z_{1}\)
5. \( T=m\left[a+g\left(\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho}\right)\right]\)
6. \( P=2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho Ag}}\)
7.
- \( x=1-\sqrt{1-s}\)
- \( \sin\theta=\frac{y}{\sqrt{1-s}}\)
- \( T=mg\left(\frac{\sqrt{1-s}-(1-s)}{s}\right)\)
