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LibreTexts Español

17.10: Agua

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El agua consiste en una masaM (“oxígeno”) conectada a dos masas iguales menoresm (“hidrógeno”) por dos resortes iguales de constantes de fuerzak, siendo el ángulo entre los resortes2\theta . La longitud de equilibrio de cada resorte esr. El par necesario para aumentar el ángulo entre los resortes por2\delta \theta es2c\delta \theta . Ver Figura XVII.10. (\theta es de aproximadamente 52°.)

alt

En cualquier momento, deje que las coordenadas de las tres masas (de izquierda a derecha) sean

(x_1,y_1), \qquad (x_2,y_2), \qquad (x_3,y_3)

y dejar que las posiciones de equilibrio sean

(x_{10},y_{10}), \qquad (x_{20},y_{20}), \qquad (x_{30},y_{30}), \text{ where} y_{30} = y_{10}

Suponemos que estas coordenadas se refieren a un marco en el que el centro de masa del sistema es estacionario.

Intentemos imaginar, en la Figura XVII.11, los modos vibracionales. Podemos imaginar fácilmente un modo en el que el ángulo se abre y se cierra simétricamente. Vamos a resolver este modo en unx -componente y uny -componente. En elx -componente de este movimiento, un átomo de hidrógeno se mueve hacia la derecha por una distanciaq_1 mientras que el otro se mueve hacia la izquierda por e igual distanciaq_1. En ely -componente de este movimiento simétrico, ambos hidrógenos se mueven hacia arriba una distanciaq_2, mientras que, para mantener el centro de masa del sistema inmóvil, el oxígeno necesariamente se mueve hacia abajo una distancia2mq_2/M. También podemos imaginar un modo asimétrico en el que un resorte se expande mientras que el otro se contrae. Un hidrógeno se mueve hacia abajo a la izquierda por una distanciaq_3, mientras que el otro se mueve hacia arriba a la izquierda por la misma distancia. Mientras tanto, el oxígeno debe moverse a la derecha por una distancia(2mq_3 \sin \theta )/M, para mantener el centro de masa inmóvil.

Vamos a tratar de anotar las energías cinéticas y potenciales en términos de las coordenadas internasq_1, q_2 yq_3.

alt

Es fácil anotar la energía cinética en términos de las (x , y) coordenadas:

T\ =\ \frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}\ +\ \dot{y}_{1}^{2})\ +\ \frac{1}{2}M(\dot{x}_{2}^{2}\ +\ \dot{y}_{2}^{2})\ +\frac{1}{2}m(\dot{x}_{3}^{2}\ +\ \dot{y}_{3}^{2}). \label{17.10.1}

Desde la geometría tenemos:

\begin{align} \dot{x}_{1} &=\ \dot{q}_{1}-\dot{q}_{3}\sin\theta \\[5pt] \dot{y}_{1} &= \dot{q}_{2}-\dot{q}_{3}\cos\theta \label{17.10.2a,b} \\[5pt] \dot{x}_{2} &= \frac{2m\dot{q}_{3}\sin\theta}{M} \\[5pt] \dot{y}_{2} &= -\frac{2m\dot{q}_{2}}{M} \label{17.10.3a,b} \\[5pt] \dot{x}_{3} &= -\dot{q}_{1} - \dot{q}_{3}\sin\theta \\[5pt] \dot{y}_{3} &= \dot{q}_{2}\ +\ \dot{q}_{3}\cos\theta \label{17.10.4a,b} \end{align}

Al poner estos en la ecuación \ref{17.10.1} obtenemos

T\ =\ m\dot{q}_{1}^{2}\ +\ m\left(1+\frac{2m}{M}\right)\dot{q}_{2}^{2}\ +\ m\left(1+\frac{(2m\sin^{2}\theta)}{M}\right)\dot{q}_{3}^{2} \label{17.10.5}

Para abreviar, voy a escribir esto como

T=a_{11}\dot{q}_{1}^{2}+a_{22}\dot{q}_{2}^{2}+a_{33}\dot{q}_{3}^{2} \label{17.10.6}

Ahora por la energía potencial.

La extensión del resorte izquierdo es

\delta r_{1}=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\cos\theta-\frac{2mq_{2}\cos\theta}{M}+q_{3}+\frac{2mq_{3}\sin\theta\cos\theta}{M}\\=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\left(\frac{1+2m}{M}\right)\cos\theta+q_{3}\left(1+\frac{(2m\sin^{2}\theta)}{M }\right) \label{17.10.7}

La extensión del resorte derecho es

\delta r_{2}=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\cos\theta-\frac{2mq_{2}\cos\theta}{M}-q_{3}-\frac{2mq_{3}\sin^{2}\theta}{M}\\=-q_{1}\sin\theta-q_{2}\left(\frac{1+2m}{M}\right)\cos\theta-q_{3}\left(1+\frac{(2m\sin^{2}\theta)}{M }\right). \label{17.10.8}

El aumento en el ángulo entre los resortes es

2\delta\theta=-\frac{2q_{1}\cos\theta}{r}\ +\ \frac{2(1+\frac{2m}{M})q_{2}\sin\theta}{r}. \label{17.10.9}

La energía potencial (por encima de la posición de equilibrio) es

V=\frac{1}{2}k(\delta r_{1})^{2}\ +\ \frac{1}{2}k(\delta r_{2})^{2}\ +\ \frac{1}{2}c(2\delta\theta)^{2}. \label{17.10.10}

Al sustituir Ecuaciones \ref{17.10.7}, \ref{17.10.8} y \ref{17.10.9} en esto, obtenemos una ecuación de la forma

V=b_{11}q_{1}^{2}\ +\ 2bq_{12}q_{1}q_{2}\ +\ b_{22}q_{2}^{2}\ +\ b_{33}q_{3}^{2}, \label{17.10.11}

donde le dejo al lector, si lo desea, que elabore las expresiones detalladas para los coeficientes. Todavía tenemos un término cruzado, así que no podemos separar completamente las coordenadas, pero podemos aplicar fácilmente la ecuación de Lagrange a las Ecuaciones\ ref {17.10.6} y\ ref {17.10.11}, y luego buscar soluciones armónicas simples de la manera habitual. Establecer el determinante de los coeficientes en cero conduce a la siguiente ecuación para las frecuencias angulares de los modos normales:

\begin{bmatrix}b_{11}-\omega^{2}a_{11} & b_{12} & 0 \\ b_{12} & b_{22}-\omega^{2}a_{22} & 0\\ 0 & 0 & b_{33}-\omega^{2}a_{33} \end{bmatrix}\ =\ 0. \label{17.10.12}

Así, dadas las masas yr, \theta, k yc, se pueden predecir las frecuencias de los modos normales. ¿Se puede calculark yc dadas las frecuencias? No sé, a decir verdad. ¿Puedo dejar que el lector investigue más a fondo?


This page titled 17.10: Agua is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Jeremy Tatum via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

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