17.9: Cuerda Vibrante

Es posible que los tres modos de vibración de las tres masas en la Sección 17.8 le recordaran las vibraciones fundamentales y las dos primeras armónicas de una cuerda estirada —y es bastante apropiado que lo hiciera. Si imaginaras diez masas unidas a una cuerda estirada y para llevar a cabo el mismo tipo de análisis, encontrarías diez modos normales, de los cuales uno sería bastante parecido al modo fundamental de una cuerda estirada, y el resto te recordaría los primeros nueve armónicos. Podrías continuar con el mismo análisis pero con un número muy grande de masas, y eventualmente estarías analizando las vibraciones de una cuerda pesada continua. Eso lo hacemos ahora, y suponemos que tenemos una cuerda de masa pesada y tensa$\mu$ por unidad de longitud, y bajo tensión$F$.

Se muestra en la Figura XVII.9 una porción de longitud$\delta x$ de una cuerda vibratoria, representada por$A_0B_0$ en su posición de equilibrio y por AB en una posición desplazada. La cuerda forma un ángulo$\psi$ A con la horizontal en A y un ángulo$\psi$ B con la horizontal en B. La tensión en la cuerda es$F$. La ecuación vertical del movimiento es

$$F(\sin \psi_B - \sin \psi_A ) = \mu\delta x\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} . \label{17.9.1}$$

Si los ángulos son pequeños, entonces$\sin \psi \cong \frac{\partial y }{\partial x }$, entonces la expresión entre paréntesis es$\frac{\partial ^2 y }{\partial x^2 }\delta x$. La ecuación del movimiento es, por lo tanto

$$c^2 \dfrac{\partial ^2 y}{\partial x^2} = \frac{ \partial^2 y}{\partial t ^2} \label{17.9.2a}$$

donde

$$c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \label{17.9.2b}$$

Como se puede verificar por sustitución, la solución general a esto es de la forma

$$y = f (x-ct) + g(x + ct) \label{17.9.3}$$

Esto representa una función que puede viajar en cualquier dirección a lo largo de la cuerda a una velocidad$c$ dada por la ecuación$\ref{17.9.2b}$. Si la perturbación es una perturbación periódica, entonces una ola viajará a lo largo de la cuerda a esa velocidad. El análisis adicional de las ondas en cuerdas y cuerdas generalmente se realiza en capítulos que se ocupan del movimiento de las olas. Esta sección, sin embargo, al menos establece la velocidad a la que una perturbación (periódica o de otro tipo) viaja a lo largo de una cuerda o fuerte estirada.