19.6: Movimiento en un cicloide, Cúspides Abajo
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Imaginamos una partícula deslizándose por el exterior de un cuenco cicloidal liso invertido, o una perla deslizándose por un alambre cicloidal liso. Supondremos que, en su momento\(t = 0\), la partícula estaba en la parte superior del cicloide y se proyectaba hacia adelante con una velocidad horizontal\(v_0\). Ver Figura XIX.7.
Esta vez, las ecuaciones de movimiento son
\[ \ddot{s} =g sin \psi \label{19.6.1} \]
y
\[ \dfrac{mv^2}{ \rho} = mg \cos \phi - R. \label{19.6.2} \]
Por argumentos similares a los formulados en la Sección 19.5, encontramos que
\[ \ddot{s} = \dfrac{gs}{4a} \label{19.6.3} \]
La solución general a esto es
\[ s = Ae^{pt} + Be^{-pt}, \label{19.6.4} \]
donde
\[ p = \sqrt{g/(2a)}. \label{19.6.5} \]
Con la condición inicial dada (at\( t = 0, s = 0, \dot{s} = v_0 \)), podemos encontrar A y B y por lo tanto:
\[ s = v_{0} \sqrt{\dfrac{a}{g}} (e^{pt} - e^{-pt})\label{19.6.6} \]
De nuevo procediendo como en la Sección 19.5, encontramos para\(R\):
\[ R = \dfrac{m}{4 \cos \psi} (4ga \cos 2 \psi - v^2_0) . \label{19.6.7} \]
Entonces, ¿qué pasa?
Si la restricción es de dos lados (el talón se desliza sobre un cable) R se convierte en cero cuando\( \cos 2 \pi = v^2_0 / (2 /ga), \) y después R está en la dirección opuesta.
Si la restricción es unilateral (la partícula se desliza hacia abajo por el exterior de un cuenco cicloidal liso):
- Si\(v^2_0\ > 4ga\), la partícula pierde contacto en el momento de la proyección.
- Si\(v^2_0\ < 4ga\) la partícula pierde contacto tan pronto como\( \cos 2 \pi = v^2_0 /(2ga)\), es muy pequeña (es decir, mucho más pequeña que\(\sqrt(2ga) \)), esto sucederá cuando\( \psi = 45 \circ \); para velocidades iniciales más rápidas, el contacto se pierda antes.
Una partícula se proyecta horizontalmente con velocidad v 0 = 1 m s −1 desde el vértice de la colina cicloidal lisa
\( x = a(2\theta + \sin 2 \theta \)
\( y = 2a \cos ^2 \theta , \)
donde\( a = 2\) m. Suponiendo que g = 9.8 m s −2, ¿cuánto tiempo se tarda en llegar a la mitad de la colina (es decir, hasta\(y = a\))?
Solución
Tenemos que usar la Ecuación\ ref {19.6.6}. Con los datos numéricos dados, esto es
\( s = 0.451754(e^{1.565248t} - e^{-1.565248t}). \)
Podemos encontrar\(s\) a partir de la Ecuación 19.4.12, que nos da\(s\) = 2.828427 m. Si lo dejamos ahora tenemos que resolver 6.26099 =\( \xi - 1 / \xi \), o\(\xi^2 - 6.26099 \xi -1 = 0 \). A partir de esto,\( \xi \) = 6.41683 y por lo tanto\(t\) = 1.19 s.
Dejo al lector calcular R en este momento —y de hecho ver si la partícula pierde contacto con el cerro antes de entonces. Quizás el hecho de que obtuve una raíz real positiva para\( \xi \) significa que estamos bien y la partícula sigue en contacto —pero no estaría seguro de eso. Dejo al lector investigar más a fondo.