20.2.1: Exceso de presión en el interior de gotas y burbujas

La presión dentro de una caída esférica es mayor que la presión exterior. La forma en que el exceso de presión\(P\) depende del radio\(a\) de la caída, y la tensión superficial\( \gamma\) y la densidad\( \rho \) del líquido es susceptible de análisis dimensional. Se puede suponer eso\( P \propto a^\alpha \gamma^\beta\rho^\delta, \) después de lo cual dejo al lector que lo demuestre\(\alpha = −1, \beta = 1, \delta = 0\), y por lo tanto\( P \propto \gamma/ a \).

Sin embargo, también es bastante fácil calcular el exceso de presión (aparte de como mera proporcionalidad) en términos de la tensión superficial y el radio de la caída. En la Figura XX.2 he dividido una caída esférica de radio\(a\) en dos hemisferios, y vamos a considerar el equilibrio del hemisferio superior.

El hemisferio superior está siendo tirado hacia abajo por la tensión superficial alrededor de la base del hemisferio, y esta fuerza descendente es igual a la circunferencia de la base por la tensión superficial, o\(2\pi \gamma a\). Si el exceso de presión dentro de la caída es\(P\), el componente ascendente de la fuerza debido a esta presión es igual a\(P\) veces el área de la base,\(\pi a^2\). En caso de que esto no sea obvio, considere un área elemental\(dA\) como se muestra, en un ángulo esférico\( \theta \) desde la parte superior de la gota. La fuerza sobre este elemento es igual a\(PdA\). El componente ascendente de esta fuerza es\(P \cos \theta dA \), y esto es igual a\(P\) veces la proyección horizontal de\(dA\). Ahora eres bienvenido a hacer una agradable doble integración sobre el hemisferio, pero dado que esto (es decir, "esto es igual a\(P\) veces la proyección horizontal de\(dA\) “) es cierto para cada área elemental sobre la superficie del hemisferio, la fuerza ascendente total debe ser igual a\(P\) veces el área de la base. Así\(2\pi \gamma a = \pi a2P \), y así el exceso de presión dentro de la caída es

\[P = \frac{2 \gamma}{a} \label{20.2.2}\tag{20.2.2} \]

Cuanto menor es la caída, mayor es el exceso de presión. Puede considerar esto como una explicación de por qué no se pueden formar gotitas a partir de un vapor a menos que haya un núcleo de polvo de tamaño finito para que se condensen. Por supuesto, dos moléculas que chocan entre sí no pueden en ningún caso coalescer a menos que haya algo para eliminar o absorber la energía cinética.

El caso de una caída no esférica podría mencionarse de pasada. Es un resultado bien conocido en geometría (o al menos es bien conocido por quienes ya la conocen) que si\(z = z(x , y)\) es una superficie no esférica, y tomas dos planos verticales en ángulo recto entre sí, y si\(a_1\) y\(a_2\) son los radios de curvatura de las intersecciones de los dos planos con la superficie, entonces\( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} \) es independiente de las orientaciones de los dos planos, siempre y cuando permanezcan perpendiculares entre sí. Es decir,\(a_1\) y\(a_2\) no tienen que ser los radios máximo y mínimo de curvatura. El exceso de presión dentro de una caída no esférica es

\[P = \gamma \left( \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2}\right) \label{20.2.3}\tag{20.2.3} \]

¿Qué pasa con la presión dentro de una burbuja esférica de aire (u otro gas) bajo el agua (u otro líquido)? Si nos apresuramos, podríamos sugerir que, dado que esta es la situación opuesta a una caída de líquido en el aire, tal vez la presión sea menor dentro de una burbuja submarina. Esta sería una conclusión muy apresurada, y bastante equivocada. Si pasas exactamente por el mismo argumento que nosotros para una caída, considerando el equilibrio de un hemisferio, verás inmediatamente que hay (en cuanto a la caída) un exceso de presión dentro de la burbuja dado nuevamente por Ecuación\( \ref{20.2.2} \). Y exactamente lo mismo se aplicaría a una gota esférica de un líquido bajo la superficie de un segundo líquido, si los dos líquidos son inmiscibles. Pero, en lugar de simplemente repetir la derivación idéntica, intentemos un enfoque diferente.

Imaginemos que tenemos una burbuja de radio\(a\) en un líquido de tensión superficial\( \gamma\), y supongamos que somos capaces, mediante una jeringa fina, de inyectar algo más de aire en su interior para aumentar el radio de la burbuja\(da\) a presión y temperatura constantes. El área superficial de una esfera de radio\(a\) es\(A = 4\pi a^2\), entonces, si aumentamos el radio por\(da\) aumentamos la superficie en\(8 \pi a da\), y aumentamos el volumen en\( 4 \pi a 2 da\). El trabajo realizado contra la tensión superficial es\( 8 \pi γa da\), y esto también debe ser igual a\(4 \pi Pa^2 da\), donde\(P\) está el exceso de presión dentro de la burbuja. Equiparar estas dos expresiones lleva de nuevo a la Ecuación\( \ref{20.2.2} \).

¿Y una burbuja de jabón esférica hueca en el aire? Aquí el jabón tiene dos superficies, por dentro y por fuera. Si repites alguna de las derivaciones anteriores a este caso, verás que el exceso de presión dentro de una burbuja de jabón esférica hueca es

\[P = \frac{4 \gamma}{a} \label{20.2.4}\tag{20.2.4} \]