20.4.1: Ley de Poiseuille
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La Figura XX.10 representa una tubería de radio\(a\) con líquido fluyendo hacia la derecha. A una\(r\) distancia del eje de la tubería la velocidad del líquido es\(v\). La longitud de la tubería es\(l\), y hay un gradiente de presión a lo largo de la longitud de la tubería, siendo la presión en el extremo izquierdo mayor que la presión a la derecha por\(P\). Hay un gradiente de velocidad en la tubería. La velocidad del líquido a lo largo del eje de la tubería es v0, y la velocidad en la circunferencia de la tubería es cero. Es decir, la velocidad disminuye de eje a circunferencia, de manera que el gradiente de velocidad\( (dv/dr) \) es negativo.
Consideremos ahora el equilibrio del radio interior del líquido\(r\). (Está en equilibrio porque se mueve a velocidad constante.) Está siendo empujado hacia adelante por el gradiente de presión. Esta fuerza hacia la derecha es\( \pi r^2 P \). Está siendo arrastrado hacia atrás por la fuerza viscosa que actúa sobre la zona\( 2 \pi rl\). Esta fuerza hacia la izquierda es\( -2 \pi \eta lr(dv/dr) \), siendo positiva esta expresión para la fuerza hacia la izquierda.
Por lo tanto
\[ -2 \eta l \frac{dv}{dr} = Pr . \tag{20.4.1}\label{eq:20.4.1} \]
Integrar desde el eje\((r = 0, v = v_0) \) a\(r\):
\[ v = v_0 - \frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.2}\label{eq:20.4.2} \]
Así, la velocidad disminuye cuadráticamente (parabólicamente) a medida que te alejas del eje. La velocidad es cero en la circunferencia, y por lo tanto la velocidad en el eje es
\[ v_0 =\frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.3}\label{eq:20.4.3} \]
Verificar las dimensiones.
Ahora el volumen fluye a través de una carcasa cilíndrica de radios\(r\) y\(r + dr\) es la velocidad multiplicada por el área\( 2 \pi r dr, \), que es\( \frac{\pi r^3 dr}{2 \eta l} \), y si se integra eso a través de toda la tubería, de 0 a\(a\), se encuentra que la velocidad de flujo de líquido a través de la tubería (metros cúbicos por segundo) es
\[ \frac{ \pi a ^4 P }{ 8 \eta l }. \tag{20.4.4}\label{eq:20.4.4} \]
Esta es la Ley de Poiseuille.