20.4.1: Ley de Poiseuille

La ley de Poiseuille le dice cómo la tasa de flujo no turbulento de un líquido a través de una tubería cilíndrica depende de la viscosidad del líquido, el radio de la tubería y el gradiente de presión. Si todo lo demás falla, al menos puedes probar el análisis dimensional. Supongamos que la velocidad de flujo de líquido (en metros cúbicos por segundo) es proporcional$\eta^\alpha a^\beta \left( \frac{dP}{dx}\right)^ \gamma,$ y mostrar por análisis dimensional que$\alpha = −1, \beta = −4$ y$\gamma = 1$, lo que demuestra que la velocidad de flujo es muy sensible al radio de la tubería. Eso$\beta = −4$ te dice que si tus arterias están en absoluto constreñidas, aunque sea un poquito, será mejor que tengas cuidado. El flujo de gas es más complicado porque los gases son compresibles, (también lo son los líquidos, pero no por mucho), pero te$\beta = −4$ dice que la velocidad a la que puedes bombear gas de un sistema depende mucho del tamaño del tubo más pequeño que tengas entre el volumen que intentas evacuar y la bomba. Ahora intentemos analizarlo más a fondo.

La Figura XX.10 representa una tubería de radio$a$ con líquido fluyendo hacia la derecha. A una$r$ distancia del eje de la tubería la velocidad del líquido es$v$. La longitud de la tubería es$l$, y hay un gradiente de presión a lo largo de la longitud de la tubería, siendo la presión en el extremo izquierdo mayor que la presión a la derecha por$P$. Hay un gradiente de velocidad en la tubería. La velocidad del líquido a lo largo del eje de la tubería es v0, y la velocidad en la circunferencia de la tubería es cero. Es decir, la velocidad disminuye de eje a circunferencia, de manera que el gradiente de velocidad$(dv/dr)$ es negativo.

Consideremos ahora el equilibrio del radio interior del líquido$r$. (Está en equilibrio porque se mueve a velocidad constante.) Está siendo empujado hacia adelante por el gradiente de presión. Esta fuerza hacia la derecha es$\pi r^2 P$. Está siendo arrastrado hacia atrás por la fuerza viscosa que actúa sobre la zona$2 \pi rl$. Esta fuerza hacia la izquierda es$-2 \pi \eta lr(dv/dr)$, siendo positiva esta expresión para la fuerza hacia la izquierda.

Por lo tanto

$$-2 \eta l \frac{dv}{dr} = Pr . \tag{20.4.1}\label{eq:20.4.1}$$

Integrar desde el eje$(r = 0, v = v_0)$ a$r$:

$$v = v_0 - \frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.2}\label{eq:20.4.2}$$

Así, la velocidad disminuye cuadráticamente (parabólicamente) a medida que te alejas del eje. La velocidad es cero en la circunferencia, y por lo tanto la velocidad en el eje es

$$v_0 =\frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.3}\label{eq:20.4.3}$$

Verificar las dimensiones.

Ahora el volumen fluye a través de una carcasa cilíndrica de radios$r$ y$r + dr$ es la velocidad multiplicada por el área$2 \pi r dr,$, que es$\frac{\pi r^3 dr}{2 \eta l}$, y si se integra eso a través de toda la tubería, de 0 a$a$, se encuentra que la velocidad de flujo de líquido a través de la tubería (metros cúbicos por segundo) es

$$\frac{ \pi a ^4 P }{ 8 \eta l }. \tag{20.4.4}\label{eq:20.4.4}$$

Esta es la Ley de Poiseuille.