20.4.2: El viscosímetro Couette

Un recipiente cilíndrico de radio\(b\) contiene el líquido cuya viscosidad se va a medir. Un cilindro sólido más pequeño de radio\(a\) y longitud\(l\) se suspende de un alambre de torsión, cuya constante de torsión\(c\) se conoce, y se sumerge en el líquido en el recipiente, siendo coaxiales los dos cilindros. El recipiente que contiene el líquido se hace girar alrededor de su eje a una velocidad angular\( \Omega\), poniendo así el líquido en movimiento. Esto provoca un par viscoso en el cilindro interior, que por lo tanto se tira alrededor de un ángulo\( \phi \). Cuando el par de restauración del alambre de torsión\( c \phi \) es igual al par viscoso, el sistema estará en equilibrio, y luego se puede calcular la viscosidad\( \eta \) del líquido. Nos referiremos a la Figura XX.11. En el análisis simple que se da a continuación, suponemos que la velocidad angular y lineal y los gradientes son suficientemente pequeños para que el flujo no sea turbulento. También descuidamos los efectos del arrastre viscoso en los extremos planos del cilindro. Así, el diámetro del cilindro, en nuestro análisis, debe ser mucho menor que su longitud.

Por cierto, durante mucho tiempo pensé que la palabra “couette” debía ser francesa para algo. Es — es francés para “cama de plumas” o para “coleta”. Pero el viscosímetro Couette en realidad lleva el nombre de un científico francés poco conocido del siglo XIX, Maurice Couette.

Calculemos el par viscoso en el líquido dentro del radio\( r \). Observe que, dado que tenemos una situación de estado estacionario, este par es independiente de\(r\); en particular, el par en el líquido dentro del radio\(r\) es el mismo que el par (que podemos medir con el cable de torsión) en el cilindro interior. El área de la superficie curva del líquido dentro del radio\(r\) es\( 2 \pi lr\). El par viscoso en esta superficie es\(r\)\( \eta \) multiplicado por el área por el gradiente de velocidad transversal. Pero hay que tener cuidado con este último término. Si todo el cuerpo del líquido estuviera girando como un cuerpo sólido con velocidad angular\( \omega \), la velocidad en el radio\(r\) sería\(r \omega \) y por lo tanto habría un gradiente de velocidad transversal igual a\( \omega \) − ¡pero sin arrastre viscoso! Pero el líquido no está, por supuesto, rotando como un sólido, y\( \omega \) (así como\(v\)) es una función de\(r\). Ya que\(v = r \omega \), el gradiente de velocidad es\( \frac{dv}{dr} = r \frac{d \omega}{dr} + \omega \) y la única parte de esto que entra en la expresión para el par viscoso es la parte.\( r \frac{d \omega}{dr} \) Así, la expresión para el par en el líquido dentro del radio r (y por lo tanto también en el cilindro interno) es

\[ \tau = r. \eta . 2 \pi r l. r \frac{d \omega}{dr}\tag{20.4.5}\label{eq:20.4.5} \]

Es decir,

\[ \frac{d \omega}{dr} = \frac{\tau}{2 \pi \eta l r^3} . \tag{20.4.6}\label{eq:20.4.6} \]

Integración de\( r = a, \omega = 0 \) a\( r = b, \omega = \Omega \) da

\[ \tau = \frac{4 \pi \eta l \Omega a^2 b^2}{b^2 - a^2} \tag{20.4.7}\label{eq:20.4.7} \]

En equilibrio, esto es igual a\(c \phi \), donde\(c\) está la constante de torsión de la suspensión y\( \phi \) es el ángulo a través del cual ha girado el cilindro interior, y de ahí se puede determinar la viscosidad. Deberás, como de costumbre, verificar las dimensiones de la Ecuación\(\ref{eq:20.4.7}\).