21.2: Movimiento bajo una Fuerza Central
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Considero el movimiento bidimensional de una partícula de masa\(m\) bajo la influencia de una fuerza central conservadora\(F(r)\), que puede ser atractiva o repulsiva, pero depende únicamente de la coordenada radial\(r\). Recordando la fórmula\( \ddot{r} - r \dot{ \theta }^2 \)\) para la aceleración en coordenadas polares (siendo el segundo término la aceleración centrípeta), vemos que la ecuación de movimiento es
\[ m \ddot{r} - m r \dot{ \theta }^2 = F(r). \tag{21.2.1}\label{eq:21.2.1} \]
Esto describe, en coordenadas polares, el movimiento bidimensional en un plano. Pero como no hay fuerzas transversales, el momento angular\( m^2 \dot{ \theta }^2 \) es constante e igual a\(L\), digamos. Así podemos escribir la Ecuación\(\ref{eq:21.2.1}\) como
\[ m \ddot{r} = F(r) + \frac{L^2}{mr^3}. \tag{21.2.2}\label{eq:21.2.2} \]
Esto lo ha reducido a una ecuación unidimensional; es decir, estamos describiendo, en relación con un marco co-rotatorio, cómo la distancia de la partícula desde el centro de atracción (o repulsión) varía con el tiempo. En este marco co-rotativo es como si la partícula estuviera sujeta no sólo a la fuerza\(F(r)\), sino también a una fuerza adicional\( \frac{L^2}{mr^3} \). En otras palabras, la fuerza total sobre la partícula (referida al marco co-rotatorio) es
\[ F'(r) = F(r) + \frac{L^2}{mr^3}. \tag{21.2.3}\label{eq:21.2.3} \]
Ahora\(F(r)\), al ser una fuerza conservadora, se puede escribir como menos la derivada de una función energética potencial,\( F = - \frac{dV}{dr}\). Asimismo,\( \frac{L^2}{m^3}\) es menos la derivada de\( \frac{L^2}{2mr^2} \). Por lo tanto, en el marco co-giratorio, el movimiento de la partícula puede describirse como restringido por la función de energía potencial\(V'\), donde
\[ V' = V + \frac{L^2}{2mr^2}. \tag{21.2.4}\label{eq:21.2.4} \]
Esta es la energía potencial equivalente. Si dividimos ambos lados por la masa m de la partícula en órbita, esto se convierte en
\[ \Phi' = \Phi + \frac{h^2}{2r^2}. \tag{21.2.5}\label{eq:21.2.5} \]
Aquí\(h\) está el momento angular por unidad de masa de la partícula en órbita,\( \Phi \) es el potencial en el marco inercial, y\( \Phi ' \) es el potencial equivalente en el marco corrotatorio.