4.1: Traducción y Rotación

Es natural iniciar una discusión sobre los sistemas de muchas partículas desde un límite (relativamente: -) simple cuando los cambios de distancias\(r_{k k^{\prime}} \equiv\left|\mathbf{r}_{\mathrm{k}}-\mathbf{r}_{\mathrm{k}^{\prime}}\right|\) entre las partículas son insignificantemente pequeños. Tal abstracción se llama el cuerpo (absolutamente) rígido, y es una aproximación razonable en muchos problemas prácticos, incluido el movimiento de los sólidos. Es decir, este modelo descuida las deformaciones -que serán objeto de los próximos capítulos. La aproximación de cuerpo rígido reduce el número de grados de libertad del sistema de\(N\) partículas de\(3 N\) a solo seis, por ejemplo, tres coordenadas cartesianas de un punto (digamos, 0), y tres ángulos de rotación del sistema alrededor de tres ejes mutuamente perpendiculares que pasan por este punto - ver Figura\(1 .{ }^{1}\)

Figura 4.1. Derivando Eq. (8).

Como se desprende de la discusión en Secs. 1.1-3, cualquier movimiento puramente traslacional de un cuerpo rígido, en el que los vectores\(\mathbf{v}\) de velocidad de todos los puntos sean iguales, no es más complejo que el de una partícula puntual. En efecto, según las ecuaciones (1.8) y (1.30), en un marco de referencia inercial tal cuerpo se mueve, sobre el efecto de la fuerza externa neta\(\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}\), exactamente como una partícula puntual. Sin embargo, la rotación es un poco más complicada.

Empecemos por mostrar que un desplazamiento elemental arbitrario de un cuerpo rígido puede considerarse siempre como una suma del movimiento traslacional discutido anteriormente, y lo que se denomina rotación pura. Para ello, considere un marco de referencia “móvil”, firmemente unido al cuerpo, y un vector arbitrario A (Figura 1). El vector puede estar representado por sus componentes cartesianos\(A_{j}\) en ese fotograma móvil:\[\mathbf{A}=\sum_{j=1}^{3} A_{j} \mathbf{n}_{j} .\] Calculemos la derivada temporal de este vector como se observa a partir de un fotograma diferente (“lab”), teniendo en cuenta que si el cuerpo gira con respecto a este fotograma, las direcciones de los vectores unitarios \(\mathbf{n}_{j}\), como se ve desde el marco del laboratorio, cambio en el tiempo. De ahí que tengamos que diferenciar ambos operandos en cada producto contribuyendo a la suma (1):\[\left.\frac{d \mathbf{A}}{d t}\right|_{\text {in lab }}=\sum_{j=1}^{3} \frac{d A_{j}}{d t} \mathbf{n}_{j}+\sum_{j=1}^{3} A_{j} \frac{d \mathbf{n}_{j}}{d t} .\] En el lado derecho de esta igualdad, la primera suma evidentemente describe el cambio de vector\(\mathbf{A}\) como se observa desde el marco móvil. En la segunda suma, cada uno de los vectores infinitesimales\(d \mathbf{n}_{j}\) puede ser representado por sus componentes cartesianos:\[d \mathbf{n}_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} d \varphi_{i j^{\prime}} \mathbf{n}_{j^{\prime}}\] donde\(d \varphi_{i j^{\prime}}\) están algunos coeficientes escalares adimensionales. Para conocer más sobre ellos, multipliquemos escalarcada lado de la ecuación (3) por un vector unitario arbitrario\(\mathbf{n}_{j "}\), y tomemos en cuenta la evidente condición de ortonormalidad:\[\mathbf{n}_{j^{\prime}} \cdot \mathbf{n}_{j^{\prime \prime}}=\delta_{j j^{\prime \prime}},\] dónde\(\delta_{j j \prime}\) está el símbolo delta de Kronecker. \({ }^{2}\)Como resultado, obtenemos\[d \mathbf{n}_{j} \cdot \mathbf{n}_{j^{\prime \prime}}=d \varphi_{i j^{\prime \prime}}\] Ahora usemos la Eq. (5) para calcular el primer diferencial de la Ec. (4):\[d \mathbf{n}_{j^{\prime}} \cdot \mathbf{n}_{j^{\prime \prime}}+\mathbf{n}_{j^{\prime}} \cdot d \mathbf{n}_{j^{\prime \prime}} \equiv d \varphi_{j j^{\prime \prime}}+d \varphi_{j^{\prime \prime \prime}}=0 ; \quad \text { in particular, } 2 d \mathbf{n}_{j} \cdot \mathbf{n}_{j}=2 d \varphi_{i j}=0 .\] Estas relaciones, válidas para cualquier elección de índices\(j, j\) ', y\(j\) "del conjunto\(\{1,2,3\}\), muestran que la matriz de\(d \varphi_{i j}\)' es antisimétrica con respecto a la swap de sus índices; esto significa que no hay nueve solo tres coeficientes independientes distintos de cero\(d \varphi_{i j}\), todos con\(j \neq j\) '. De ahí que sea natural renumerarlos de una manera más simple:\(d \varphi_{i j^{\prime}}=-d \varphi_{j^{\prime} j} \equiv d \varphi_{j "}\), donde los índices\(j, j\) ', y\(j\) "siguen en el orden “correcto” - ya sea\(\{1,2,3\}\), o\(\{2,3,1\}\), o\(\{3,1,2\}\). Es fácil verificar (ya sea solo por una comparación componente por componente o usando el símbolo de permutación Levi-Civita\(\varepsilon_{i j j}{j}^{\prime, 3}\)) que en esta nueva notación, la Ec. (3) puede representarse solo como un producto vectorial:\[d \mathbf{n}_{j}=d \boldsymbol{\varphi} \times \mathbf{n}_{j},\] donde\(d \varphi\) está el vector infinitesimal definido por sus componentes cartesianos \(d \varphi_{j}\)en el marco de referencia giratorio\(\left\{\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n}_{3}\right\}\) - ver Ec. (3).

Esta relación es la base de toda la cinemática de rotación. Usándolo, la ecuación (2) puede reescribirse como\[\left.\frac{d \mathbf{A}}{d t}\right|_{\text {in lab }}=\left.\frac{d \mathbf{A}}{d t}\right|_{\text {in mov }}+\sum_{j=1}^{3} A_{j} \frac{d \boldsymbol{\varphi}}{d t} \times\left.\mathbf{n}_{j} \equiv \frac{d \mathbf{A}}{d t}\right|_{\text {in mov }}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A}, \quad \text { where } \boldsymbol{\omega} \equiv \frac{d \boldsymbol{\varphi}}{d t} .\] Para revelar el sentido físico del vector\(\omega\), apliquemos la ecuación (8) al caso particular cuando\(\mathbf{A}\) es el vector de radio\(\mathbf{r}\) de un punto del cuerpo, y el marco de laboratorio se selecciona de una manera especial: su origen tiene la misma posición y se mueve con la misma velocidad que la del marco móvil en el instante particular que se esté considerando. En este caso, el primer término en el lado derecho de la ecuación (8) es cero, y obtenemos\[\left.\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right|_{\text {in special lab frame }}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r},\] fueron vector\(\mathbf{r}\) mismo es el mismo en ambos fotogramas. De acuerdo con la definición del producto vectorial, la velocidad de partícula descrita por esta fórmula tiene una dirección perpendicular a los vectores\(\omega\) y\(\mathbf{r}\) (Figura 2), y magnitud\(\omega r \sin \theta\). Como muestra la Figura 2, la última expresión puede ser reescrita como\(\omega \rho\), donde\(\rho=r \sin \theta\) está la distancia desde la línea que es paralela al vector\(\omega\) y pasa por el punto 0. Esto es, por supuesto, solo la rotación pura alrededor de esa línea (llamada eje de rotación instantáneo), con la velocidad angular\(\omega\). Ya que según las ecuaciones (3) y (8), el vector de velocidad angular\(\omega\) se define solo por la evolución temporal del marco móvil, es el mismo para todos los puntos\(\mathbf{r}\), es decir, para el cuerpo rígido como un todo. Obsérvese que nada en nuestros cálculos prohíbe no sólo la magnitud sino también la dirección del vector\(\omega\), y por lo tanto del eje de rotación instantáneo, cambiar en el tiempo (y en muchos casos lo hace); de ahí el nombre.

Figura 4.2. El eje instantáneo y la velocidad angular de rotación.

Ahora generalicemos nuestro resultado un paso más allá, considerando dos marcos de referencia que no rotan uno frente al otro: uno (“lab”) frame arbitrario, y otro seleccionado de la manera especial descrita anteriormente, para que para ello la Eq. (9) sea válida en él. Dado que su movimiento relativo de estos dos marcos de referencia es puramente traslacional, podemos usar la regla simple de adición de velocidad dada por la ecuación (1.6) para escribir\[\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in lab }}=\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in lab }}+\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in special lab frame }}=\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in lab }}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r},\] dónde\(\mathbf{r}\) está el vector de radio de un punto que se mide en el cuadro 0 de límite de cuerpo (“móvil”).

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\({ }^{1}\)Una forma alternativa de llegar al mismo número seis es considerar tres puntos del cuerpo, que definen de manera única su posición. Si se mueven independientemente, los puntos tendrían nueve grados de libertad, pero como tres distancias\(r_{k k}\), entre ellas ahora son fijas, las tres restricciones resultantes reducen el número de grados de libertad a seis.

\({ }^{2}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (13.1).

\({ }^{3}\)Véase, e, g., MA Eq. (13.2). Usando este símbolo, podemos escribir\(d \varphi_{i j^{\prime}}=-d \varphi_{j j} \equiv \varepsilon_{j j j} d \varphi_{j^{\prime \prime}}\) para cualquier elección de\(j, j^{\prime}\), y\(j\)”.