2.12: El Brachistochrone

Supongamos que tiene dos puntos, A y B, B está por debajo de A, pero no directamente por debajo. Tienes un poco de alambre liso, digamos sin fricción, y una cuenta que se desliza sobre el cable. El problema es curvar el cable de A hacia abajo a B de tal manera que el reborde haga el viaje lo más rápido posible.

Esta curva óptima se llama el “brachistochrone”, que es solo el griego para “el tiempo más corto”.

Pero, ¿qué es exactamente esta curva, es decir, qué es\ (\ begin {ecuación}
y (x)
\ end {ecuación}\) en la notación obvia?

Este fue el problema de desafío planteado por Johann Bernoulli a los matemáticos de Europa en un Diario dirigido por Leibniz en junio de 1696. Isaac Newton estaba trabajando a tiempo completo dirigiendo la Casa de la Moneda Real, recobrando Inglaterra y colgando a falsificadores. No obstante, terminando un día completo de trabajo a las 4 de la tarde, y encontrando el problema que se le entregó, lo resolvió a las 4 de la mañana siguiente, y envió la solución de forma anónima a Bernoulli. Bernoulli remarcó de la solución anónima “Reconozco al león por su marca de garras”.

Este fue el inicio del Cálculo de las Variaciones.

Aquí te explicamos cómo resolver el problema: tomaremos el punto de partida A para que sea el origen, y por conveniencia mediremos el eje y positivo hacia abajo. Esto significa que la velocidad en cualquier punto de la trayectoria viene dada por

\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2} m v^ {2} =m g y,\ quad v=\ sqrt {2 g y}
\ end {ecuación}

Entonces midiendo la longitud a lo largo del camino\(ds\) como de costumbre, el tiempo viene dado por

\ begin {ecuación}
T=\ int_ {A} ^ {B}\ frac {d s} {v} =\ int_ {A} ^ {B}\ frac {d s} {\ sqrt {2 g y}} =\ int_ {0} ^ {X}\ frac {\ sqrt {1+y^ {\ prime 2}} d x} {\ sqrt {2 g y}}
\ end {ecuación}

Observe que ésta tiene la misma forma que la ecuación catenaria, siendo la única diferencia que\(y\) se sustituye por\ (\ begin {ecuación}
1/\ sqrt {2 g y}
\ end {ecuación}\) del que no depende el integrando\(x\), entonces tenemos la primera integral:

\ begin {ecuación}
y^ {\ prime}\ frac {\ parcial f} {\ parcial y^ {\ prime}} -f=\ texto {constante},\ quad f=\ sqrt {\ frac {1+y^ {\ prime 2}} {2 g y}}
\ end {ecuación}

Es decir,

\ begin {ecuación}
\ frac {y^ {\ prime 2}} {\ sqrt {\ izquierda (1+y^ {\ prime 2}\ derecha) 2 g y}} -\ sqrt {\ frac {1+y^ {\ prime 2}} {2 g y}} =-\ frac {1} {\ sqrt {\ izquierda (1+y^ {\ prime 2}\ derecha) 2 g y}} =\ texto {constante}
\ final {ecuación}

por lo

\ begin {ecuación}
\ izquierda (\ frac {d y} {d x}\ derecha) ^ {2} +1=\ frac {2 a} {y}
\ end {ecuación}

\(2a\)siendo una constante de integración (el 2 resulta conveniente).

Recordando que la curva comienza en el origen A, debe comenzar por ir verticalmente hacia abajo, ya que\ (\ begin {ecuación}
y=0
\ end {ecuación}\). Por lo suficientemente pequeño\(y\), podemos aproximarnos ignorando el 1, entonces\ (\ begin {ecuación}
\ sqrt {2 a} d x\ cong\ sqrt {y} d y,\ sqrt {2 a} x\ cong 2/{} _ {3} y^ {3/2}
\ end {ecuación}\). Sin embargo, la curva debe volverse horizontal si llega tan abajo como\ (\ begin {ecuación}
y=2 a
\ end {ecuación}\), y no puede ir por debajo de ese nivel.

Reordenando con el fin de integrar,

\ begin {ecuación}
d x=\ frac {d y} {\ sqrt {\ frac {2 a} {y} -1}} =\ sqrt {\ frac {y} {2 a-y}} d y
\ end {ecuación}

Este no es un integrando muy atractivo. Se ve un poco más agradable al escribir\ (\ begin {ecuación}
y=a-a z
\ end {ecuación}\)

\ begin {ecuación}
d x=-a\ sqrt {\ frac {1-z} {1+z}} d z
\ end {ecuación}

¿Y ahora qué? Preferiríamos que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea un cuadrado perfecto, por supuesto. Quizás recuerdes de trigonometría de secundaria que\ (\ begin {ecuación}
1+\ cos\ theta=2\ cos ^ {2} (\ theta/2),\ quad 1-\ cos\ theta=2\ sin ^ {2} (\ theta/2)
\ end {ecuación}\). Esto da inmediatamente que

\ begin {ecuación}
\ frac {1-\ cos\ theta} {1+\ cos\ theta} =\ tan ^ {2}\ frac {\ theta} {2}
\ fin {ecuación}

así que la sustitución\ (\ begin {ecuación}
z=\ cos\ theta
\ end {ecuación}\) es lo que necesitamos.

Entonces\ (\ comenzar {ecuación}
d z=-\ sin\ theta d\ theta=-2\ sin (\ theta/2)\ cos (\ theta/2) d\ theta
\ end {ecuación}\)

\ begin {ecuación}
d x=-a\ tan\ frac {\ theta} {2} d z=2 a\ tan\ frac {\ theta} {2}\ sin\ frac {\ theta} {2}\ cos\ frac {\ theta} {2} d\ theta=2 a\ sin ^ {2}\ frac {\ theta} {2} d theta eta=a (1-\ cos\ theta) d\ theta
\ fin {ecuación}

Esto se integra para dar

\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
x=a (\ theta-\ sin\ theta)\\
y=a (1-\ cos\ theta)
\ end {array}
\ end {ecuación}

donde hemos fijado la constante de integración para que la curva pase por el origen\ (\ begin {ecuación}
(\ text {at}\ theta=0)
\ end {ecuación}\)

Para ver cómo se ve esta curva, primero ignora los\(\theta\) términos en\(x\), dejando\ (\ begin {ecuación}
x=-a\ sin\ theta, y=-a\ cos\ theta
\ end {ecuación}\). Evidentemente, a medida que\(\theta\) aumenta desde cero, el punto\ (\ begin {ecuación}
(x, y)
\ end {ecuación}\) va en sentido antihorario alrededor de un círculo de radio\(a\) centrado en\ (\ begin {ecuación}
(0, -a)
\ end {ecuación}\) es decir, tocando el eje x en el origen.

Ahora agregando la\(\theta\) espalda adentro, este movimiento circular se mueve de manera constante hacia la derecha, de tal manera que la dirección inicial del camino es verticalmente hacia abajo. \ (\ begin {ecuación}
\ text {(Para muy pequeños}\ left. \ theta, y\ sim\ theta^ {2}\ gg x\ sim\ theta^ {3}\ derecha)
\ final {ecuación}\)

Visualizando el movimiento total a medida que aumenta\(\theta\) constantemente, el centro se mueve desde su posición original en\ (\ begin {ecuación}
(0, -a)
\ end {ecuación}\) hacia la derecha a una velocidad\(a\theta\). En tanto, el punto se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario a esta misma velocidad. Armando la velocidad lineal del centro con la velocidad angular correspondiente, vemos que el movimiento\ (\ begin {equation}
(x (\ theta), y (\ theta))
\ end {equation}\) es la trayectoria de un punto en la llanta de una rueda rodando sin deslizarse por una carretera (al revés en nuestro caso, por supuesto). Se trata de un cicloide.