6.1: La trayectoria de un sistema dinámico en el espacio de configuración y en el espacio de estado

La historia hasta ahora: Para un sistema mecánico con n grados de libertad, la configuración espacial en algún instante del tiempo está completamente especificada por un conjunto de\(n\) variables que llamaremos las\(q_{i} \text { 's. }\). El\(q_{i}\) espacio n-dimensional se llama (naturalmente) espacio de configuración. Es como un marco congelado, una instantánea del sistema en un instante dado. La evolución temporal posterior a partir de ese estado se determina de manera única si también se nos dan las velocidades iniciales\(\dot{q}_{i}\).

El conjunto de\ (\ begin {ecuación}
q_ {i}\ text {'s y}\ dot {q} _ {i}\ text {'s}
\ end {ecuación}\) juntos definen el estado del sistema, es decir, tanto su configuración como la rapidez con la que está cambiando, determinando por lo tanto completamente su futuro (y pasado) así como su presente. El espacio 2n -dimensional abarcado por\ (\ begin {ecuación}
\ left (q_ {i},\ punto {q} _ _ {i}\ right)
\ end {ecuación}\) es el espacio de estado.

La evolución temporal del sistema es a lo largo de una ruta en el espacio de configuración parametrizada por el tiempo t. Eso, por supuesto, fija la ruta correspondiente en el espacio de estados, ya que diferenciar las funciones\ (\ begin {ecuación}
q_ {i} (t)\ text {a lo largo de esa ruta determina el}\ punto {q} _ {i} (t)
\ end {ecuación}\).

Ejemplos triviales unidimensionales de estos espacios son proporcionados por el oscilador armónico simple unidimensional, donde el espacio de configuración es solo el eje x, digamos, el espacio de estado es el plano\ (\ begin {ecuación}
(x,\ punto {x})
\ end {ecuación}\), la trayectoria del tiempo del sistema en el espacio de estados es una elipse.

Para una piedra que cae verticalmente hacia abajo, el espacio de configuración vuelve a ser una línea, la ruta en la\ (\ begin {ecuación}
(x,\ punto {x})\ text {espacio de estado es parabólico,}\ punto {x}\ propto\ sqrt {x}
\ end {ecuación}\).

Ejercicio: esbozar los caminos en el espacio de estados para movimientos de un péndulo, es decir, una masa al final de una varilla de luz, el otro extremo fijo, pero libre de rotar en un plano vertical. Esboza las rutas en las coordenadas\ (\ begin {ecuación}
(\ theta,\ punto {\ theta})
\ end {ecuación}\).

En principio, la trayectoria del sistema a través del espacio de configuración siempre se puede calcular usando las leyes del movimiento de Newton, pero en la práctica las matemáticas pueden ser intratables. Como hemos mostrado anteriormente, la elegante alternativa creada por Lagrange y Hamilton es integrar el lagrangiano

\ begin {ecuación}
L\ izquierda (q_ {i},\ punto {q} _ {i}, t\ derecha) =T\ izquierda (q_ {i},\ punto {q} _ _ {i}\ derecha) -V\ izquierda (q_ {i}, t\ derecha)
\ end {ecuación}

a lo largo de diferentes caminos en el espacio de configuración desde un estado inicial dado hasta un estado final dado en un tiempo dado: como demostró Hamilton, la ruta real seguida por el sistema físico entre los dos estados en el tiempo dado es aquella para la que se minimiza esta integral, llamada acción. Esta minimización, utilizando el método estándar de cálculo de variaciones, genera las ecuaciones de Lagrange de movimiento en\ (\ begin {ecuación}
q_ {i},\ punto {q} _ {i}
\ end {ecuación}\) y así determina la ruta.

Observe que especificando tanto la inicial\ (\ begin {ecuación}
q_ {i}\ text {'s como la final} q_ {i}\ text {'s corrige} 2 n\ text {variables.}
\ end {ecuación}\). Eso son todos los grados de libertad que hay, así que el movimiento está completamente determinado, tal como sería si hubiéramos especificado en su lugar la inicial\ (\ begin {ecuación}
q_ {i}\ text {'s y}\ punto {q} _ _ {i}\ text {'s.}
\ end {ecuación}\).