6.7: Comprobando que podemos eliminar los qi's
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Deberíamos comprobar que de hecho podemos escribir
\ begin {ecuación}
H\ izquierda (p_ {i}, q_ {i}\ derecha) =\ suma_ {i=1} ^ {n} p_ {i}\ punto {q} _ _ {i} -L\ izquierda (q_ {i},\ punto {q} _ {i}\ derecha)
\ end {ecuación}
como una función solo de las variables\ (\ begin {ecuación}
\ left (q_ {i}, p_ {i}\ right)
\ end {ecuación}\), con todo rastro de los\ (\ begin {ecuación}
\ dot {q} _ _ {i}
\ end {ecuación}\)'s eliminados. ¿Esto siempre es posible? La respuesta es sí.
Recordemos los\ (\ begin {ecuación}
\ punto {q} _ {i}
\ end {ecuación}\) solo aparecen en el lagrangiano en el término de energía cinética, que tiene la forma general
\ begin {ecuación}
T=\ suma_ {i, j} a_ {i j}\ izquierda (q_ {k}\ derecha)\ punto {q} _ {i}\ punto {q} _ {j}
\ fin {ecuación}
donde los coeficientes\ (\ begin {ecuación}
a_ {i j}
\ end {ecuación}\) dependen en general de algunas de las\ (\ begin {ecuación}
q_ {k}
\ end {ecuación}\)'s pero son independientes de las velocidades, los\ (\ begin {ecuación}
\ punto {q} _ _ {k}\ text {'s.}
\ end {ecuación}\) Por lo tanto, a partir de la definición del momento generalizado,
\ begin {ecuación}
p_ {i} =\ frac {\ parcial L} {\ parcial\ punto {q} _ _ {i}} =\ suma_ {j=1} ^ {n} a_ {i j}\ izquierda (q_ {k}\ derecha)\ punto {q} _ _ {j}
\ final {ecuación}
y podemos escribir esto como una ecuación vector-matriz,
\ begin {ecuación}
\ mathbf {p} =\ mathbf {A}\ punto {\ mathbf {q}}
\ end {ecuación}
Es decir,\ (\ begin {ecuación}
p_ {i}
\ end {ecuación}\) es una función lineal de la\ (\ begin {ecuación}
\ punto {q} _ _ {j}\ text {'s.}
\ end {ecuación}\). De ahí que la matriz inversa\ (\ begin {ecuación}
\ mathbf {A} ^ {-1}
\ end {ecuación}\) nos dará\ (\ begin {ecuación}
\ dot {q} _ _ {i}
\ end {ecuación}\) como una función lineal de los pj's, y luego poniendo esta expresión para el\ (\ begin {ecuación}
\ punto { q} _ {i}
\ end {ecuación}\) en el lagrangiano da el hamiltoniano como una función solo de los qi y los pi, es decir, las variables de espacio de fase.
La matriz A siempre es invertible porque la energía cinética es positiva definida (como es obvio a partir de su representación cartesiana) y una matriz definida positiva simétrica tiene solo valores propios positivos, y por lo tanto es invertible.