10.6: El desarrollo del tiempo es una transformación canónica generada por la acción
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La transformación a partir de las variables\ (\ begin {ecuación}
q_ {i} ^ {(1)}, p_ {i} ^ {(1)}\ text {at time} t_ {1}\ text {a} q_ {i} ^ {(2)},\ quad p_ {i} ^ {(2)}\ text {en un momento posterior} t_ {2}
\ end {ecuación}\) tiene que ser canónico, ya que el sistema obedece a Hamilton (¡canónico!) ecuaciones en todo momento.
De hecho, la variación de la acción a lo largo de la ruta verdadera de\ (\ begin {ecuación}
q_ {i} ^ {(1)}\ text {at time} t_ {1}\ text {a} q_ {i} ^ {(2)}\ text {at} t_ {2}
\ end {ecuación}\) con respecto a las coordenadas y tiempos finales e iniciales se encontró anteriormente para ser
\ begin {ecuación}
d S\ left (q_ {i} ^ {(1)}, q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, t_ {1}\ derecha) =\ suma_ {i} p_ {i} ^ {(2)} d q_ {i} ^ {(2)} -\ sum_ {i} p_ {i} ^ {(1)})} d q_ {i} ^ {(1)} +H^ {(2)} d t_ {2} -H^ {(1)} d t_ {1}
\ final {ecuación}
y, comparando esa expresión con la forma diferencial de una transformación canónica correspondiente a\ (\ begin {ecuación}
F (q\ fila derecha Q, p\ fila derecha P)
\ end {ecuación}\) en la discusión anterior, que fue
\ begin {ecuación}
d F=\ suma_ {i} p_ {i} d q_ {i} -\ suma_ {i} P_ {i} d Q_ {i} +\ left (H^ {(1)} -H^ {(2)}\ derecha) d t
\ end {ecuación}
vemos que la acción en sí es la función generadora para la transformación canónica a partir de las variables\ (\ begin {ecuación}
q_ {i} ^ {(1)}, p_ {i} ^ {(1)}\ text {at}
\ end {ecuación}\) time\ (\ begin {ecuación}
t_ {1}\ text {al conjunto} q_ {i} ^ { (2)}, p_ {i} ^ {(2)}\ text {en el momento posterior} t_ {2}
\ end {ecuación}\) en realidad −S genera el movimiento hacia adelante en el tiempo, siendo las variables equivalentes en las dos ecuaciones anteriores
\ begin {ecuación}
p_ {i} ^ {(1)}\ equiv p_ {i}, d q_ {i} ^ {(1)}\ equiv d q_ {i}, p_ {i} ^ {(2)}\ equiv P_ {i}, d q_ {i} ^ {(2)}\ equiv d Q_ {i}
\ end {ecuación}