13.4: *Variables de ángulo de acción de órbita Kepler

Aún no hemos cubierto las órbitas de Kepler, así que omita esta sección por ahora: está aquí para volver a referirnos más adelante. Es de Landau, p. 167. Para el movimiento confinado a un plano, podemos tomar el análisis de potencial central con\(\theta=\pi / 2, p_{\theta}=0 \text { and } p_{\phi}=m v_{\phi} r\), el momento angular, por lo que el hamiltoniano es

\ begin {ecuación} H=\ frac {1} {2 m}\ izquierda (p_ {r} ^ {2} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {r^ {2}}\ derecha) +V (r)\ end {ecuación}

Por lo tanto, la ecuación de Hamilton-Jacobi es

\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2 m}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ r parcial}\ derecha) ^ {2} +V (r) +\ frac {1} {2 m r^ {2}}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ parcial\ phi}\ derecha) ^ {2} =E
\ end {ecuación}

Entonces, siguiendo el análisis previo de separación de variables para movimiento en un potencial central, aquí

\ begin {ecuación}
S_ {0} (r,\ phi) =S_ {r} (r) +S_ {\ phi} (\ phi) =S_ {r} (r) +p_ {\ phi}\ phi
\ fin {ecuación}

La variable de acción para el movimiento angular es solo el momento angular en sí,

\ begin {ecuación}
I_ {\ phi} =\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {0} ^ {2\ pi} p_ {\ phi} d\ phi=L
\ end {ecuación}

Y la variable de acción radial, con potencial\(V(r)=-k / r, \text { is }\)

\ begin {ecuación}
I_ {r} =2\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {r_ {\ text {min}}} ^ {r_ {\ max}}\ sqrt {\ izquierda [2 m\ izquierda (E+\ frac {k} {r}\ derecha) -\ frac {L^ {2}} {r^ {2}}\ derecha]} d r=-L+k\ sqrt {\ frac {m} {2|E|}}
\ final {ecuación}

(Los detalles sobre hacer la integral se dan en el Apéndice, Mathematica también puede hacerlo).

Entonces la energía es

\ begin {ecuación}
E=-\ frac {m k^ {2}} {2\ izquierda (I_ {r} +I_ {\ phi}\ derecha) ^ {2}}
\ end {ecuación}

El movimiento es degenerado: las dos frecuencias fundamentales coinciden,\(\partial I_{\phi} / \partial E=\partial I_{r} / \partial E\)

Esto tiene grandes consecuencias en la mecánica cuántica: todas las acciones se cuantifican en unidades de la constante de Planck, para el átomo de hidrógeno, a partir de la fórmula anterior, la energía depende únicamente de la suma de los números cuánticos: por encima del estado fundamental, los niveles de energía son degenerados, razón por la cual la energía espectro tiene la forma engañosamente simple explicada con tanto éxito por el modelo de Bohr.

Los parámetros orbitales, recto semilatoso y excentricidad, de\(|E|=k / 2 a \text { and } L^{2}=k m a\left(1-e^{2}\right)\), son

\ begin {ecuación}
\ mathrm {l} =\ frac {I_ {\ phi} ^ {2}} {m k},\ quad e^ {2} =1-\ izquierda (\ frac {I_ {\ phi}} {I_ {\ phi} +I_ {r}}\ derecha) ^ {2}
\ fin {ecuación}

Recordemos que el eje semi-mayor viene dado por\(|E|=k / 2 a\) y de la expresión anterior

\ begin {ecuación}
\ frac {b} {a} =\ frac {I_ {\ phi}} {I_ {\ phi} +I_ {r}} =\ frac {|m|} {n}
\ fin {ecuación}

en la notación del número cuántico del átomo de hidrógeno.

Apéndice: Haciendo la Integral para La Acción Radial Ir

La integral se puede poner en la forma

\ begin {ecuación}
I=\ frac {C} {2\ pi}\ int_ {\ alfa} ^ {\ beta}\ sqrt {(x-\ alfa) (\ beta-x)}\ frac {d x} {x}
\ final {ecuación}

que se puede integrar tomando un contorno que rodea el corte de\(\alpha\) a\(\beta\). La integral tendrá una contribución desde el polo en el origen igual a\(\begin{equation}C \sqrt{-\alpha \beta}\end{equation}\) y otra desde el círculo en el infinito, que es

\ begin {ecuación}
I_ {\ infty} =\ frac {C} {2\ pi}\ oint\ izquierda (1-\ frac {\ alpha} {2 z}\ derecha)\ izquierda (1-\ frac {\ beta} {2 z}\ derecha) i d z=-\ frac {C (\ alpha+\ beta)} {2}
\ end {ecuación}

Equiparar coeficientes (multiplicando el término dentro de la raíz cuadrada por\(r^{2}\))

\ begin {ecuación} C^ {2} =2 m|e|,\ quad C^ {2} (\ alpha+\ beta) =2 m k,\ quad C^ {2}\ alpha\ beta=L^ {2}\ end {ecuación}

Entonces la contribución desde el origen da la\ (\ begin {ecuación}
-L,\ text {el círculo al infinito} m k/\ sqrt {2 m} |e|=K\ sqrt {m/2} |E|
\ end {ecuación}\).