14.2: La elipse

Círculos aplastados y jardineros

La órbita planetaria no trivial más simple es un círculo:\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) está centrada en el origen y tiene radio\(a\). Una elipse es un círculo escalado (aplastado) en una dirección, por lo que una elipse centrada en el origen con eje semimañor\(a\) y eje semiminor\(b<a\) tiene ecuación

\[\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

en la notación estándar, un círculo de radio\(a\) escalado por un factor\(b/a\) en la\(y\) dirección. (Es habitual orientar el eje más grande a lo largo\(x\).)

Un círculo también se puede definir como el conjunto de puntos que están a la misma distancia a de un punto dado, y una elipse puede definirse como el conjunto de puntos de tal manera que la suma de las distancias desde dos puntos fijos es una longitud constante (que obviamente debe ser mayor que la distancia entre los dos puntos!). A esto se le llama a veces la definición del jardinero: para establecer el contorno de un lecho de flores elíptico en un césped, un jardinero conduciría en dos estacas, ataría una cuerda suelta entre ellas, luego tiraría de la cuerda apretada en todas las direcciones diferentes para formar el contorno.

En el diagrama, las estacas están en\(F_{1}, F_{2}\) las líneas rojas son la cadena,\(P\) es un punto arbitrario en la elipse.

\(CA\)se llama la longitud del eje del semimajor a,\(CB\) el eje del semiminor, la longitud\(b\).

\(F_{1}, F_{2}\)se llaman los focos (plural de foco).

Observe primero que la cuerda tiene que ser de longitud \(2a\), porque debe estirarse a lo largo del eje mayor desde\(F_{1} \text { to } A\) entonces hacia atrás\(F_{2}\) y para esa configuración hay una doble longitud de cuerda a lo largo\(F_{2} A \text { and a single length from } F_{1} \text { to } F_{2}\). Pero la longitud\(A^{\prime} F_{1} \text { is the same as } F_{2} A\), por lo que la longitud total de la cuerda es la misma que la longitud total\(A^{\prime} A=2 a\).

Supongamos ahora que ponemos\(P\) en\(B\). Desde\(F_{1} B=B F_{2}\), y la cadena tiene longitud\(2 a, \text { the length } F_{1} B=a\)

Obtenemos un resultado útil aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo\(F_{1} B C\)

\[\left(F_{1} C\right)^{2}=a^{2}-b^{2}\]

(Vamos a utilizar esto en breve.)

Evidentemente, para un círculo,\(F_{1} C=0\)

Excentricidad

La excentricidad\(e\) de la elipse se define por

\[e=F_{1} C / a=\sqrt{1-(b / a)^{2}}, \quad \text { note } e<1\]

Excéntrico solo significa descentrado, esto es lo lejos que está el foco fuera del centro de la elipse, como una fracción del eje semimajor. La excentricidad de un círculo es cero. La excentricidad de una elipse larga y delgada está justo por debajo de una.

\(F_{1} \text { and } F_{2}\)en el diagrama se llaman los focos de la elipse (plural de foco) porque si se coloca una fuente puntual de luz en\(F_{1}\), y la elipse es un espejo, reflejará, y por lo tanto enfocará, toda la luz hacia\(F_{2}\).

Equivalencia de las dos definiciones

Tenemos que verificar, por supuesto, que la definición de la elipse de este jardinero es equivalente a la definición de círculo aplastado. Del diagrama, la longitud total de la cadena

\[2 a=F_{1} P+P F_{2}=\sqrt{(x+a e)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-a e)^{2}+y^{2}}\]

y cuadrar ambos lados de

\[2 a-\sqrt{(x+a e)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x-a e)^{2}+y^{2}}\]

luego reordenando para tener la raíz cuadrada residual por sí misma en el lado izquierdo, luego cuadrando nuevamente,

\[(x+a e)^{2}+y^{2}=(a+e x)^{2}\]

\(\text { from which, using } e^{2}=1-\left(b^{2} / a^{2}\right), \text { we find } x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1\)

Elipse en coordenadas polares

De hecho, al analizar el movimiento planetario, es más natural tomar el origen de las coordenadas en el centro del Sol en lugar del centro de la órbita elíptica.

También es más conveniente tomar\((r,\theta)\) coordenadas en lugar de\((x,y)\) coordenadas, porque la fuerza de la fuerza gravitacional depende sólo de\(r\). Por lo tanto, la ecuación relevante que describe una órbita planetaria es la\((r,\theta)\) ecuación con el origen en un foco, aquí seguimos el uso estándar y elegimos el origen en\(F_{2}\).

Para una elipse de semieje mayor\(a\) y excentricidad,\(e\) la ecuación es:

\[\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}=1+e \cos \theta\]

Esto también se escribe a menudo

\[\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta\]

donde\(ℓ\) esta el recto semi-latus, la distancia perpendicular de un foco a la curva\((\operatorname{so} \theta=\pi / 2)\), vea el diagrama a continuación: pero note de nuevo que esta ecuación tiene\(F_{2} \text { as its origin! (For } \left.\theta<\pi / 2, r<\ell .\right)\)

(Es fácil de probar\(\ell=a\left(1-e^{2}\right)\) usando el teorema de Pitágoras,\((2 a-\ell)^{2}=(2 a e)^{2}+\ell^{2}\)

La directrix: escribir\(r \cos \theta=x\), la ecuación para la elipse también se puede escribir como

\[r=a\left(1-e^{2}\right)-e x=e\left(x_{0}-x\right)\]

donde\(x_{0}=(a / e)-a e\) (siendo el origen x=0 el foco).

La línea\(x=x_{0}\) se llama directrix.

Para cualquier punto de la elipse, su distancia desde el foco es e veces su distancia de la directriz.

Derivar la Ecuación Polar a partir de la Ecuación Cartesiana

¡Tenga en cuenta primero que (siguiendo la práctica estándar) coordina\((x,y)\) y\((r,\θ)\) tiene diferentes orígenes!

Escribiendo\(x=a e+r \cos \theta, y=r \sin \theta\) en la ecuación cartesiana,

\[\frac{(a e+r \cos \theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(r \sin \theta)^{2}}{b^{2}}=1\]

es decir, con un ligero reordenamiento,

\[r^{2}\left(\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}\right)+r \frac{2 e \cos \theta}{a}-\left(1-e^{2}\right)=0\]

Esta es una ecuación cuadrática para\(r\) y puede resolverse de la manera habitual, pero mirando los coeficientes, evidentemente es un poco más fácil resolver la cuadrática correspondiente para\(u=1 / r\)

La solución es:

\[\frac{1}{r}=u=\frac{e \cos \theta}{a\left(1-e^{2}\right)} \pm \frac{1}{a\left(1-e^{2}\right)}\]

de la cual

\[\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r}=\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta\]

donde dejamos caer la otra raíz porque da negativo\(r\), por ejemplo para\(\theta=\pi / 2\). Esto establece la equivalencia de las dos ecuaciones.