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14.3: La Parábola

Última actualización

30 oct 2022
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- 14.2: La elipse
- 14.4: La hipérbola

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La parábola se puede definir como la curva limitante de una elipse como un solo foco (en el caso que estemos examinando, eso sería $\left.F_{1}\right)$ ir al infinito. La excentricidad evidentemente va a uno, $e \rightarrow 1$ ya que el centro de la elipse también ha ido al infinito. El recto $ℓ$ semilatoso todavía se define como la distancia perpendicular del foco a la curva, la ecuación es

$\ell=r(1+\cos \theta)$

Tenga en cuenta que esto describe una parábola que se abre a la izquierda. Tomando $OF=1$ , la ecuación de esta parábola es $y^{2}=-4 x$ .

Todas las parábola tienen el mismo aspecto, aparte de la escala (tal vez solo en una dirección). La línea perpendicular al eje y la misma distancia de la curva a lo largo del eje que está el foco, pero fuera de la curva, es la directriz de la parábola. Es decir, $FO=OD$ .

Cada punto de la curva está a la misma distancia del foco que desde la directriz. Esto se puede deducir del límite de la propiedad elipse que la suma de distancias a los dos focos es constante. Llamemos al otro foco $\infty$ . Entonces $F P+P \infty=F O+O \infty=D \infty=D^{\prime} \infty$ . Entonces, a partir del diagrama, $F P=P D^{\prime}$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Demostrar encontrando la pendiente, etc., que cualquier rayo de luz emitido por una lámpara puntual en el foco será reflejado por un espejo parabólico para salir paralelo al eje.

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Del diagrama anterior, muestran que la igualdad da $F P=P D^{\prime}$ fácilmente la ecuación para la parábola, tanto en las coordenadas (r, θ) como en (x, y).

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