15.1: Ecuaciones Preliminares Polares para Curvas de Sección Cónica
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Como encontraremos, las ecuaciones de Newton para el movimiento de partículas en una fuerza central de cuadrado inverso dan órbitas que son curvas de sección cónica. Las propiedades de estas curvas se discuten a fondo en la conferencia “Matemáticas para Órbitas”, aquí por conveniencia damos las ecuaciones polares relevantes para las diversas posibilidades.
Para una elipse, con excentricidad\(e\) y recto semilato (distancia perpendicular del foco a la curva)\(ℓ\):
\ begin {ecuación}\ frac {\ ell} {r} =1+e\ cos\ theta\ fin {ecuación}
Recordemos que la excentricidad\(e\) se define por la distancia desde el centro de la elipse hasta el ser de enfoque\(ae\), donde\(a\) está el eje semi-mayor, y\(\ell=a\left(1-e^{2}\right)=b^{2} / a\).
Para una parábola,
\ begin {ecuación}\ ell=r (1+\ cos\ theta)\ end {ecuación}
Para una órbita hiperbólica con una fuerza cuadrada inversa atractiva, la ecuación polar con origen en el centro de atracción es
\ begin {ecuación}\ frac {\ ell} {r} =1-e\ cos\ theta\ fin {ecuación}
donde\(\theta_{\text {asymptote }}<\theta<2 \pi-\theta_{\text {asymptote }}\) (Por supuesto, el camino físico del planeta (digamos) es solo una rama de la hipérbola.)
El\((r, \theta)\) origen está en el centro de atracción (el Sol), geométricamente este es uno de los focos de la hipérbola, y para este atractivo caso es el foco “dentro” de la curva.
Para una órbita hiperbólica con una fuerza cuadrada inversa repulsiva (como la dispersión de Rutherford), el origen es el foco “fuera” de la curva, y a la derecha (en la representación habitual):
\ begin {ecuación}\ frac {\ ell} {r} =-e\ cos\ theta-1\ end {ecuación}
con rango angular\(-\theta_{\text {asymptote }}<\theta<\theta_{\text {asymptote }}\).