17.2: Dos Péndulos Acoplados

Tomaremos dos péndulos iguales, acoplados por un resorte ligero. Tomamos que la fuerza restauradora del resorte sea directamente proporcional a la diferencia angular entre los péndulos. (Esto resulta ser una buena aproximación.)

Para pequeños ángulos de oscilación, tomamos el Lagrangiano para ser

\ begin {ecuación}
L=\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ theta} _ {1} ^ {2} +\ frac {1} {2} m\ ell^ {2}\ punto {\ theta} _ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2} m g\ ell\ theta_ {1} ^ {2} -\ frac {1} {2} m g\ ell\ theta_ {2} ^ {2} -\ frac {1} {2} C\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ derecha) ^ {2}
\ end {ecuación}

Denotando la frecuencia de péndulo único por\(\omega_{0}\), las ecuaciones de movimiento son (escribir\(\omega_{0}^{2}=g / \ell, k=C / m \ell^{2}\), entonces\(\left.[k]=T^{-2}\right)\)

\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
\ ddot {\ theta} _ {1} =-\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {1} -k\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ derecha)\
\ ddot {\ theta} _ {2} =-\ omega_ {0} ^ {2}\ theta_ {2} -k\ izquierda (\ theta_ {2} -\ theta_ {1}\ derecha)
\ end {array}
\ end {ecuación}

Buscamos una solución periódica, escribiendo

\ begin {ecuación}
\ theta_ {1} (t) =A_ {1} e^ {i\ omega t},\ quad\ theta_ {2} (t) =A_ {2} e^ {i\ omega t}
\ end {ecuación}

(Las soluciones finales del ángulo físico serán la parte real.)

Las ecuaciones se convierten (en notación matricial):

\ begin {ecuación}
\ omega^ {2}\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {cc}
\ omega_ {0} ^ {2} +k & -k\\
-k &\ omega_ {0} ^ {2} +k
\ end {array}\ derecha)\ izquierda (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}
\ end {array}\ right)
\ end {ecuación}

Denotando el\(2 \times 2 \text { matrix by } \mathbf{M}\)

\ begin {ecuación}
\ mathbf {M}\ vec {A} =\ omega^ {2}\ vec {A},\ quad\ vec {A} =\ left (\ begin {array} {l}
A_ {1}\\
A_ {2}
\ end {array}\ right)
\ end {ecuación}

Esta es una ecuación de vector propio, con\(\omega^{2}\) el valor propio, que se encuentra por el procedimiento estándar:

\ begin {ecuación}
\ operatorname {det}\ left (\ mathbf {M} -\ omega^ {2}\ mathbf {I}\ derecha) =\ izquierda|\ begin {array} {cc}
\ omega_ {0} ^ {2} +k-\ omega^ {2} & -k\\
-k &\ omega_ {0} ^ {2} +k-\ omega^ {2}
\ end {array}\ derecha|=0
\ end {ecuación}

Resolviendo\(\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+k \pm k\),, es decir

\ begin {ecuación}
\ omega^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2},\ quad\ omega^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} +2 k
\ final {ecuación}

Los vectores propios correspondientes son (1,1) y (1, −1).