29.2: Marco Giratorio Uniforme

Para el caso importante de un marco que tenga rotación uniforme y sin movimiento de traslación,

\ begin {ecuación}
m d\ vec {v}/d t=-\ parcial U/\ parcial\ vec {r} +2 m\ vec {v}\ veces\ vec {\ Omega} +m (\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r})\ veces\ vec {\ Omega}
\ fin {ecuación}

El último término es (como afirma Landau) la “fuerza centrífuga”, pero este término es ahora políticamente incorrecto, ya que no es una “fuerza real”, solo un efecto de estar en un marco giratorio. (Todavía está bien decir fuerza gravitacional, aunque esa tampoco es una fuerza real, supongo, ya que desaparece en el marco inercial local de “caída libre”, como notó por primera vez Galileo, y siglos después por Einstein, quien lo llamó “el pensamiento más feliz de mi vida”.)

El segundo término,\(2 m \vec{v} \times \vec{\Omega}\) Landau llama a la fuerza Coriolis. (Nuevamente, los políticamente correctos tienden a hablar del efecto Coriolis, es decir, desviación de un proyectil, digamos, de una trayectoria de marco inercial resultante de la operación de esta “fuerza”.) Una ilustración muy bonita de esta “fuerza” está en la película Frames of Reference 2, a partir del tiempo 3:50.

Observe que la fuerza de Coriolis depende de la velocidad de la partícula, y recuerda a la fuerza magnética sobre una partícula cargada. Por ejemplo, no trabaja en la partícula, pero sí curva la trayectoria de la partícula.

La energía de la partícula se puede encontrar a partir de la ecuación estándar de Lagrangian

\ begin {ecuación}
E=\ suma\ punto {x} _ {i}\ frac {\ parcial L} {\ parcial\ punto {x} _ _ {i}} -L=\ vec {v}\ cdot\ vec {p} -L
\ final {ecuación}

donde

\ begin {ecuación}
\ vec {p} =\ L parcial/\ parcial\ vec {v} =m\ vec {v} +m\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r}
\ fin {ecuación}

¡Esto es interesante! Recordando\(\vec{v}_{0}=\vec{v}+\vec{\Omega} \times \vec{r}\), el impulso, definido de esta manera como una variable canónica, no como solo\(m \vec{v}\) en el marco en el que estamos, es el mismo en los dos fotogramas\(K_{0}, K\)

\[\vec{p}_{0}=\vec{p}\]

Los momentos angulares también\(\vec{L}_{0}=\vec{r} \times \vec{p}_{0} \text { and } \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\) son iguales en los dos marcos.

El Lagrangiano es

\ begin {ecuación}
L=\ frac {1} {2} m\ vec {v} ^ {2} +m\ vec {v}\ cdot\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} +\ frac {1} {2} m (\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r}) ^ {2} -U (\ vec {r})
\ end {ecuación}

por lo

\ begin {ecuación}
\ begin {array} {c}
E=\ vec {p}\ cdot\ vec {v} -L\\
=m\ vec {v} ^ {2} +m\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r}\ cdot\ vec {v} -\ left (\ frac {1} {2} m\ vec {v} ^ 2} +m\ vec {v}\ cdot\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r} +\ frac {1} {2} m (\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r}) ^ {2} -U (\ vec {r})\ derecha)\\
=\ frac {1} {2} m\ vec {v} ^ {2} -\ frac {1} {2} m (\ vec {\ Omega}\ veces\ vec {r}) ^ {2} +U (\ vec {r})
\ end {array}
\ end {ecuación}

El nuevo término es la energía potencial centrífuga. Es negativo porque se necesita trabajo para llevar algo hacia el eje de rotación. Para ver cómo esta energía se relaciona con la energía en el marco fijo original, sustituya en esta ecuación\(\vec{v}=\vec{v}_{0}-\vec{\Omega} \times \vec{r}\) para encontrar

\ begin {ecuación}
E=E_ {0} -\ vec {L}\ cdot\ vec {\ Omega}
\ fin {ecuación}

verdadero para una partícula, y por adición para cualquier sistema de partículas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Confirme que eso\(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}=\vec{r} \times \vec{p}_{0}\). Observe que la diferencia puede ser positiva o negativa—dé una simple ilustración de una partícula de esto.