5: Cálculo de variaciones
- Page ID
- 126424
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Los capítulos anteriores se han centrado en el enfoque intuitivo newtoniano de la mecánica clásica, que se basa en cantidades vectoriales como fuerza, impulso y aceleración. La mecánica newtoniana conduce a ecuaciones diferenciales de movimiento de segundo orden. El cálculo de las variaciones subyace a una poderosa aproximación alternativa a la mecánica clásica que se basa en identificar el camino que minimiza una cantidad integral. Este enfoque variacional integral fue promovido por Gottfried Wilhelm Leibniz, de manera contemporánea con el desarrollo de Newton del enfoque diferencial de la mecánica clásica.
- 5.1: Introducción al Cálculo de las Variaciones
- Durante el siglo XVIII, Bernoulli, quien era estudiante de Leibniz, desarrolló el campo del cálculo variacional que subyace al enfoque variacional integral de la mecánica. Resolvió el problema de la brachistocrón que implica encontrar el camino para el cual el tiempo de tránsito entre dos puntos es el más corto.
- 5.2: Ecuación Diferencial de Euler
- El cálculo de las variaciones, aquí presentado, subyace a los poderosos enfoques variacionales que se desarrollaron para la mecánica clásica. El cálculo variacional, desarrollado para la mecánica clásica, ahora se ha convertido en un enfoque esencial para muchas otras disciplinas de la ciencia, la ingeniería, la economía y la medicina.
- 5.3: Aplicaciones de la Ecuación de Euler
- El problema de Brachistochrone implica encontrar el camino que tenga el tiempo mínimo de tránsito entre dos puntos. El problema de Brachistochrone estimuló el desarrollo del cálculo de variaciones de John Bernoulli y Euler.
- 5.4: Selección de la Variable Independiente
- Se puede elegir una amplia selección de variables como la variable independiente para el cálculo variacional. Seleccionar qué variable usar como variable independiente no cambia la física de un problema, pero algunas selecciones pueden simplificar las matemáticas para obtener una solución analítica. El siguiente ejemplo de una superficie de burbuja de jabón cilíndrico-simétrica formada al soplar una burbuja de jabón que se extiende entre dos aros circulares, ilustra la importancia de la variable independiente.
- 5.5: Funciones con Varias Variables Independientes
- La discusión se ha centrado en sistemas que tienen una sola función y (x) tal que lo funcional es un extremo. Es más común tener un funcional que sea dependiente de varias variables independientes f [y1 (x), y′1 (x), y2 (x), y′2 (x),... ; x].
- 5.6: Ecuación Integral de Euler
- Se puede escribir una forma integral de la ecuación diferencial de Euler que es útil para los casos en que la función f no depende explícitamente de la variable independiente x.
- 5.7: Sistemas Variacionales Constreñidos
- Las restricciones holonómicas acoplan las coordenadas para el sistema.
- 5.8: Coordenadas generalizadas en Cálculo Variacional
- Las coordenadas generalizadas permiten incrustar fuerzas de restricción que simplifican la solución.
- 5.9: Multiplicadores de Lagrange para Restricciones Holonómicas
- La técnica del multiplicador Lagrange proporciona una manera poderosa y elegante de manejar las restricciones holonómicas usando las ecuaciones de Euler. El método general de multiplicadores Lagrange para n variables, con m restricciones, se introduce mejor utilizando la ingeniosa explotación de Bernoulli de los desplazamientos infinitossimales virtuales, que Lagrange significó con el símbolo δ.
- 5.10: Geodésico
- El geodésico se define como el camino más corto entre dos puntos fijos para el movimiento que está restringido para que se encuentre en una superficie. El cálculo variacional proporciona un enfoque poderoso para determinar las ecuaciones de movimiento restringidas para seguir un geodésico.
- 5.11: Aproximación Variacional a la Mecánica Clásica
- Este capítulo ilustra que los principios variacionales proporcionan un medio para derivar información más detallada, como las trayectorias para el movimiento entre condiciones iniciales y finales dadas, al requerir que los funcionales escalares tengan valores extremos. Por ejemplo, la solución del problema de la brachistocronía determinó la trayectoria que tenía el tiempo mínimo de tránsito, basándose únicamente en las magnitudes de las energías potenciales cinéticas y gravitacionales.
Miniaturas: Minimización de funciones y funciones de prueba. (CC BY-SA 2.5; Banerjee).