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LibreTexts Español

8.1: Introducción

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Las tres principales formulaciones de la mecánica clásica son

  1. Mecánica newtoniana que es la formulación vectorial más intuitiva utilizada en la mecánica clásica.
  2. La mecánica lagrangiana es una poderosa formulación algebraica de la mecánica clásica derivada usando el Principio de D'Alembert o el Principio de Hamilton. Este último afirma “Un sistema dinámico sigue un camino que minimiza la integral de tiempo de la diferencia entre las energías cinética y potencial”.
  3. La mecánica hamiltoniana tiene una hermosa superestructura que, al igual que la mecánica lagrangiana, se basa en el cálculo variacional, el principio de Hamilton y la mecánica lagrangiana.

La mecánica hamiltoniana se introduce en esta coyuntura ya que está estrechamente entrelazada con la mecánica de Lagrange. La mecánica hamiltoniana juega un papel fundamental en la física moderna, pero la discusión del importante papel que juega en la física moderna se aplazará hasta los capítulos15 y18 donde se aborden las aplicaciones a la física moderna.

En el capítulo se introdujeron los siguientes conceptos importantes7:

El impulso generalizado se definió para ser dado por

piL(q,˙q,t)˙qi

Obsérvese que7.2, como se discute en el capítulo, si el potencial depende de la velocidad, como la fuerza de Lorentz, entonces el impulso generalizado incluye términos además del impulso mecánico habitual.

Seh(q,˙q,t) introdujo la función energética generalizada de Jacobi dondeh(q,˙q,t)=ni(˙qiL˙qi)L(q,˙q,t)

La función hamiltoniana se definió para ser dada expresando la función energética generalizada, Ecuación\ ref {8.2}, en términos del impulso generalizado. Es decir, el hamiltonianoH(q,p,t) se expresa como

H(q,p,t)=nipi˙qiL(q,˙q,t)

Los símbolosq,p, designan vectores de coordenadasn generalizadas,q(q1,q2,..qn),p(p1,p2,..pn). La ecuación\ ref {8.3} se puede escribir de forma compacta en forma simétrica usando el producto escalarp˙q=ipi˙qi. H(q,p,t)+L(q,˙q,t)=p˙q

Una característica crucial de la mecánica hamiltoniana es que el hamiltoniano se expresa como esH(q,p,t), decir, es una función de las coordenadasn generalizadas y sus momentos conjugados, que se toman como independientes, más la variable independiente, el tiempo. Esto contrasta con el LagrangianoL(q,˙q,t) que es una función de las coordenadasn generalizadasqj, y las velocidades correspondientes˙qj, es decir, las derivadas de tiempo de las coordenadasqi, más la variable independiente, el tiempo.


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