8.1: Introducción

Las tres principales formulaciones de la mecánica clásica son

1. Mecánica newtoniana que es la formulación vectorial más intuitiva utilizada en la mecánica clásica.
2. La mecánica lagrangiana es una poderosa formulación algebraica de la mecánica clásica derivada usando el Principio de D'Alembert o el Principio de Hamilton. Este último afirma “Un sistema dinámico sigue un camino que minimiza la integral de tiempo de la diferencia entre las energías cinética y potencial”.
3. La mecánica hamiltoniana tiene una hermosa superestructura que, al igual que la mecánica lagrangiana, se basa en el cálculo variacional, el principio de Hamilton y la mecánica lagrangiana.

La mecánica hamiltoniana se introduce en esta coyuntura ya que está estrechamente entrelazada con la mecánica de Lagrange. La mecánica hamiltoniana juega un papel fundamental en la física moderna, pero la discusión del importante papel que juega en la física moderna se aplazará hasta los capítulos\(15\) y\(18\) donde se aborden las aplicaciones a la física moderna.

En el capítulo se introdujeron los siguientes conceptos importantes\(7\):

El impulso generalizado se definió para ser dado por

\[p_{i}\equiv \frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},}t\mathbf{)}}{\partial \dot{q} _{i}}\]

Obsérvese que\(7.2\), como se discute en el capítulo, si el potencial depende de la velocidad, como la fuerza de Lorentz, entonces el impulso generalizado incluye términos además del impulso mecánico habitual.

Se\(h(\mathbf{q,\dot{q}},t)\) introdujo la función energética generalizada de Jacobi donde\[h(\mathbf{q,\dot{q}},t)=\sum_{i}^{n}\left( \dot{q}_{i}\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_{i}}\right) -L(\mathbf{q,\dot{q}},t) \label{8.2}\]

La función hamiltoniana se definió para ser dada expresando la función energética generalizada, Ecuación\ ref {8.2}, en términos del impulso generalizado. Es decir, el hamiltoniano\(H(\mathbf{q,p},t)\) se expresa como

\[H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) =\sum_{i}^{n}p_{i}\dot{q}_{i}-L( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \label{8.3}\]

Los símbolos\(\mathbf{q}\),\(\mathbf{p}\), designan vectores de coordenadas\(n\) generalizadas,\(\mathbf{q}\equiv (q_{1},q_{2},..q_{n}),\)\(\mathbf{p}\equiv (p_{1},p_{2},..p_{n})\). La ecuación\ ref {8.3} se puede escribir de forma compacta en forma simétrica usando el producto escalar\(\mathbf{p\cdot \dot{q}=} \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}\). \[H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) +L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)= \mathbf{p\cdot \dot{q}}\]

Una característica crucial de la mecánica hamiltoniana es que el hamiltoniano se expresa como es\(H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) ,\) decir, es una función de las coordenadas\(n\) generalizadas y sus momentos conjugados, que se toman como independientes, más la variable independiente, el tiempo. Esto contrasta con el Lagrangiano\(L(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)\) que es una función de las coordenadas\(n\) generalizadas\(q_{j}\), y las velocidades correspondientes\(\dot{q}_{j}\), es decir, las derivadas de tiempo de las coordenadas\(q_{i}\), más la variable independiente, el tiempo.