8.5: Aplicaciones de la Dinámica Hamiltoniana

Las ecuaciones de movimiento de un sistema se pueden derivar utilizando el hamiltoniano junto con las ecuaciones de movimiento de Hamilton, es decir, ecuaciones\((8.3.11-8.3.13)\).

Formalmente el hamiltoniano se construye a partir del lagrangiano. Eso es

1. Seleccionar un conjunto de coordenadas generalizadas independientes\(q_{i}\)
2. Particionar las fuerzas activas.
3. Construye el Lagrangiano\(L(q_{i}, \dot{q}_{i},t)\)
4. Derivar el momento generalizado conjugado vía\(p_{i}=\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_{i}}\)
5. Saber\(L,\dot{q}_{i},p_{i}\) derivar\(H=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L\)
6. Derivar\(\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}\) y\(\dot{p}_{j}=- \frac{\partial H(\mathbf{q,p,}t\mathbf{)}}{\partial q_{j}} +\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}} +Q_{j}^{EXC}.\)

Este procedimiento parece ser innecesariamente complicado en comparación con el solo uso de la mecánica lagrangiana más lagrangiana para derivar las ecuaciones de movimiento. Afortunadamente, el largo procedimiento anterior a menudo se puede pasar por alto para los sistemas conservadores. Es decir, si se cumplen las siguientes condiciones;

1. \(L=T(\overset{.}{q})-U(q)\), es decir,\(U\left( q\right)\) es independiente de la velocidad\(\dot{q}\).
2. las coordenadas generalizadas son independientes del tiempo.

entonces es posible utilizar el hecho de que

\[H=T+U=E.\nonumber\]

Los siguientes cinco ejemplos ilustran el uso de la mecánica hamiltoniana para derivar las ecuaciones de movimiento.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Motion in a uniform gravitational field

Considera una masa\(m\) en un campo gravitacional uniforme que actúa en la\(-\mathbf{z}\) dirección. El lagrangiano para este sencillo caso es

\[L= \frac{1}{2}m\left( \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) -mgz\nonumber\]

Por lo tanto los momentos generalizados son\(p_{x}=\frac{\partial L}{ \partial \dot{x}}=m\dot{x},\)\(p_{y}=\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m \dot{y},\)\(p_{z}=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}\). El hamiltoniano correspondiente\(H\) es

\[\begin{aligned} H &=&\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L=p_{x}\dot{x}+p_{y}\dot{y}+p_{z}\dot{z}-L \\ &=&\frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{p_{y}^{2}}{m}+\frac{p_{z}^{2}}{m}-\frac{1}{2} \left( \frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{p_{y}^{2}}{m}+\frac{p_{z}^{2}}{m}\right) +mgz=\frac{1}{2}\left( \frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{p_{y}^{2}}{m}+\frac{ p_{z}^{2}}{m}\right) +mgz\end{aligned}\]

Obsérvese que el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, por lo que el hamiltoniano es una constante de movimiento.

Las ecuaciones de Hamilton dan eso\[\begin{aligned} \dot{x} &=&\frac{\partial H}{\partial p_{x}}=\frac{p_{x}}{m}\hspace{1in}- \dot{p}_{x}=\frac{\partial H}{\partial x}=0 \\ \dot{y} &=&\frac{\partial H}{\partial p_{y}}=\frac{p_{y}}{m}\hspace{1in}- \dot{p}_{y}=\frac{\partial H}{\partial y}=0 \\ \dot{z} &=&\frac{\partial H}{\partial p_{z}}=\frac{p_{z}}{m}\hspace{1in}- \dot{p}_{z}=\frac{\partial H}{\partial z}=mg\end{aligned}\]

Combinar estos da eso\(\ddot{x}=0,\)\(\ddot{y}=0, \ddot{z}=-g\). Obsérvese que los momentos lineales\(p_{x}\) y\(p_{y}\) son constantes de movimiento mientras que la velocidad de cambio de\(p_{z}\) viene dada por la fuerza gravitacional\(mg\). Obsérvese también que\(H=T+U\) para este sistema conservador.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): One-dimensional harmonic oscillator

Considerar una masa\(m\) sujeta a una fuerza de restauración lineal con constante de resorte\(k.\) El Lagrangiano\(L=T-U\) es igual

\[L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}\nonumber\]

Por lo tanto, el impulso generalizado es

\[p_{x}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}\nonumber\]

El hamiltoniano\(H\) es

\[\begin{aligned} H &=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L=p_{x}\dot{x}-L \\ &=\frac{p_{x}p_{x}}{m}-\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{1}{2}kx^{2}= \frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{1}{2}kx^{2}\end{aligned}\]

Obsérvese que el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, así el hamiltoniano será una constante de movimiento. Las ecuaciones de Hamilton dan eso

\[\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p_{x}}=\frac{p_{x}}{m}\nonumber\]

o

\[p_{x}=m\dot{x}\nonumber\]

Además

\[-\dot{p}_{x}=\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial U}{\partial x}=kx\nonumber\]

Combinar estos da que

\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\nonumber\]

que es la ecuación de movimiento para el oscilador armónico.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Plane pendulum

El péndulo plano, en un campo gravitacional uniforme,\(g,\) es un sistema interesante a considerar. Solo hay una coordenada generalizada,\(\theta\) y la lagrangiana para este sistema es

\[L= \frac{1}{2}ml^{2}\dot{\theta}^{2}+mgl\cos \theta\nonumber\]

El momento conjugado a\(\theta\) es

\[p_{\theta }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=ml^{2}\dot{\theta}\nonumber\]que es el momento angular alrededor del punto de pivote.

El hamiltoniano es

\[H=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L=p_{\theta }\dot{\theta}-L=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{ \theta}^{2}-mgl\cos \theta =\frac{p_{\theta }^{2}}{2ml^{2}}-mgl\cos \theta\nonumber\]Las ecuaciones de movimiento de Hamilton dan

\[\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta }}=\frac{p_{\theta }}{ ml^{2}}\nonumber\]

\[\overset{.}{\dot{p}_{\theta }=-\frac{\partial H}{\partial \theta }=}-mgl\sin \theta\nonumber\]

Obsérvese que los lagrangianos y hamiltonianos no son funciones explícitas del tiempo, por lo tanto se conservan. También el potencial es independiente de la velocidad y no hay transformación de coordenadas, así el hamiltoniano equivale a la energía total, es decir

\[H=\frac{p_{\theta }^{2}}{2ml^{2}}-mgl\cos \theta =E\nonumber\]

donde\(E\) es una constante de movimiento. Tenga en cuenta que el momento angular no\(p_{\theta }\) es una constante de movimiento ya que\(\dot{p} _{\theta }\) explícitamente depende de\(\theta\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Diagramas fase-espacio para el péndulo plano. La separatriz (línea en negrita) separa las soluciones oscilatorias de las soluciones de laminación. La parte superior (a) muestra un ciclo completo mientras que la inferior (b) muestra dos ciclos completos.

Las soluciones para el péndulo plano en un diagrama de\(\left( \theta ,p_{\theta }\right)\) fases, mostradas en la figura adyacente, ilustran el movimiento. La gráfica fase-espacio superior muestra el rango\(\left( \theta =\pm \pi ,p_{\theta }\right)\). Tenga en cuenta que el\(\theta =+\pi\) y\(-\pi\) corresponden al mismo punto físico, es decir, el diagrama de fases se debe enrollar en un cilindro conectado a lo largo de las líneas discontinuas. La gráfica de espacio de fase inferior muestra dos ciclos\(\theta\) para ilustrar mejor la naturaleza cíclica del diagrama de fases. El diagrama estado-espacio correspondiente se muestra en la Figura\(3.4.2\). Las trayectorias son elipses de baja energía\(-mgl<E\,<mgl\) correspondientes a oscilaciones del péndulo alrededor\(\theta =0\). El centro de la elipse\(\left( 0,0\right)\) es un punto de equilibrio estable para la oscilación. Sin embargo, hay un cambio de fase al movimiento rotacional alrededor del eje horizontal cuando\(\left\vert E\right\vert >mgl\), es decir, el péndulo oscila alrededor de un círculo continuamente, es decir, gira continuamente en una dirección alrededor del eje horizontal. El cambio de fase ocurre en\(E=mgl.\) y es designado por la trayectoria separatriz.

La gráfica de\(p_{\theta }\) versus\(\theta\) para el péndulo plano se presenta mejor en una representación de espacio de fase cilíndrica ya que\(\theta\) es una variable cíclica que gira alrededor del cilindro, mientras que\(p_{\theta }\) oscila por igual alrededor de cero teniendo valores tanto positivos como negativos. Cuando se envuelve alrededor de un cilindro, los puntos de equilibrio inestables y estables estarán en ubicaciones diametralmente opuestas en la superficie del cilindro en\(p_{\theta }=0\). Para pequeñas oscilaciones sobre el equilibrio, también llamadas libraciones, la correlación entre\(p_{\theta }\) y\(\theta\) viene dada por las elipses cerradas en sentido horario envueltas en la superficie cilíndrica, mientras que para las energías\(\left\vert E\right\vert >mgl\) el positivo\(p_{\theta }\) corresponde a rotaciones en sentido antihorario mientras que el negativo \(p_{\theta }\)corresponde a rotaciones en sentido horario.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Hooke's law force constrained to the surface of a cylinder

Figura\(\PageIndex{2}\): Masa atraída al origen por fuerza proporcional a la distancia desde el origen con el movimiento restringido a la superficie de un cilindro.

Consideremos el caso donde una masa\(m\) es atraída por una fuerza dirigida hacia el origen y proporcional a la distancia desde el origen. Determine el hamiltoniano si la masa está restringida para moverse sobre la superficie de un cilindro definido por

\[x^{2}+y^{2}=R^{2}\nonumber\]

Es natural transformar este problema en coordenadas cilíndricas\(\rho ,z,\theta\). Dado que la fuerza es solo la ley de Hooke

\[\mathbf{F}=-k\mathbf{r}\nonumber\]

el potencial es el mismo que para el oscilador armónico, es decir

\[U= \frac{1}{2}kr^{2}=\frac{1}{2}k(\rho ^{2}+z^{2})\nonumber\]

Esto es independiente\(\theta ,\) y por lo tanto\(\theta\) es cíclico.

\[p_{z}=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z} \tag{b} \label{b}\]

El sistema es conservador y la transformación de coordenadas rectangulares a cilíndricas no depende explícitamente del tiempo. Por lo tanto el hamiltoniano se conserva y equivale a la energía total. Eso es

\[H=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L=\frac{p_{\theta }^{2}}{2mR^{2}}+\frac{p_{z}^{2} }{2m}+\frac{1}{2}k(R^{2}+z^{2})=E\nonumber\]

Las ecuaciones de movimiento luego vienen dadas por las ecuaciones canónicas\[\begin{align} \dot{p}_{\theta } &=&-\frac{\partial H}{\partial \theta }=0\hspace{1in}\dot{ \theta}=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta }}=\frac{p_{\theta }}{mR^{2}} \tag{c} \label{c} \\ \dot{p}_{z} &=&-\frac{\partial H}{\partial z}=-kz\mathit{\hspace{0.8in}}\dot{ z}=\frac{\partial H}{\partial p_{z}}=\frac{p_{z}}{m} \tag{d} \label{d}\end{align}\]

La ecuación\ ref {a} y\ ref {c} implican que

\[p_{\theta }=\frac{\partial L}{\partial \overset{.}{\theta }}=mR^{2}\dot{ \theta}=\text{constant}\nonumber\]

Así se conserva el momento angular alrededor del eje del cilindro, es decir, es una variable cíclica.

Combinar ecuaciones\ ref {b} y\ ref {d} implica que

\[\ddot{z}+\frac{k}{m}z=0\nonumber\]

Esta es la ecuación para el movimiento armónico simple con frecuencia angular\(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\). Las simetrías implican que este problema tiene las mismas soluciones para la\(z\) coordenada que el oscilador armónico, mientras que la\(\theta\) coordenada se mueve con velocidad angular constante.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Electron motion in a cylindrical magnetron

Un magnetrón comprende un cátodo de alambre cilíndrico caliente que emite electrones y está a un alto voltaje negativo. Está rodeado por un ánodo cilíndrico concéntrico de mayor diámetro a potencial de tierra. Un campo magnético uniforme corre paralelo al eje cilíndrico del magnetrón. El haz de electrones excita un conjunto múltiple de cavidades de microondas ubicadas alrededor de la circunferencia de la pared cilíndrica del ánodo. El magnetrón fue inventado en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial para generar microondas requeridas para el desarrollo del radar.

Considerar un electrón no relativista de masa\(m\) y carga\(-e\) en un magnetrón cilíndrico que se mueve entre el cable catódico central, de radio\(a\) a un potencial eléctrico negativo\(-\phi _{0}\), y un conductor de ánodo cilíndrico concéntrico de radio\(R\) que tiene cero eléctrico potencial. Existe un campo magnético constante uniforme\(B\) paralelo al eje cilíndrico del magnetrón.

Usando unidades SI y coordenadas cilíndricas\((r,\theta ,z)\) alineadas con el eje del magnetrón, la fuerza electromagnética Lagrangiana, dada en el capítulo\(6.10,\) es igual

\[L= \frac{1}{2}m\mathbf{\dot{r}}^{2}+e(\phi -\mathbf{\dot{r}}\cdot \mathbf{A})\nonumber\]

Los potenciales eléctricos y vectoriales para la geometría del magnetrón son

\[\begin{aligned} \phi &=&-\phi _{0}\frac{\ln (\frac{r}{R})}{\ln (\frac{a}{R})} \\ \mathbf{A} &=&\frac{1}{2}Br\hat{e}_{\theta }\end{aligned}\]

Así expresado en coordenadas cilíndricas los iguales de Lagrangianos\[L=\frac{1}{2}m\left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\right) +e\phi -\frac{1}{2}eBr^{2}\dot{\theta}\nonumber\]

Los momentos generalizados son

\[\begin{aligned} p_{r} &=&\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \\ p_{\theta } &=&\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^{2}\dot{\theta}- \frac{1}{2}eBr^{2} \\ p_{z} &=&\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}\end{aligned}\]

Tenga en cuenta que el potencial vectorial\(A\) contribuye con un término adicional al momento angular\(p_{\theta }\).

El uso de los momentos generalizados anteriores lleva a la hamiltoniana\[\begin{aligned} H &=&p_{r}\dot{r}+p_{\theta }\dot{\theta}+p_{z}\dot{z}-L \\ &=&\frac{1}{2}m\left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\right) -e\phi +\frac{1}{2}eBr^{2}\dot{\theta} \\ &=&\frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{1}{2mr^{2}}\left( p_{\theta }+\frac{1}{2} eBr^{2}\right) ^{2}+\frac{p_{z}^{2}}{2m}-e\phi \\ &=&\frac{1}{2m}\left[ p_{r}^{2}+\left( \frac{p_{\theta }}{r}+\frac{1}{2} eBr\right) ^{2}+p_{z}^{2}\right] -e\phi\end{aligned}\]

Obsérvese que el hamiltoniano no es una función explícita del tiempo, por lo tanto es una constante de movimiento que equivale a la energía total. \[H=\frac{1}{2m}\left[ p_{r}^{2}+\left( \frac{p_{\theta }}{r}+\frac{1}{2} eBr\right) ^{2}+p_{z}^{2}\right] -e\phi =E\nonumber\]

Ya que\(\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}},\) y si no\(H\) es una función explícita de\(q_{i},\) entonces es\(\dot{p}_{i}=0,\) decir,\(p_{i}\) es una constante de movimiento. Así\(p_{\theta }\) y\(p_{z}\) son constantes de movimiento.

Considera las condiciones iniciales\(r=a,\dot{r}=\dot{\theta}=\dot{z}=0\). Entonces\[\begin{aligned} p_{\theta } &=&\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^{2}\dot{\theta}- \frac{1}{2}eBr^{2}=-\frac{1}{2}eBa^{2} \\ p_{z} &=&0 \\ H &=&\frac{1}{2m}\left[ p_{r}^{2}+\left( \frac{p_{\theta }}{r}+\frac{1}{2} eBr\right) ^{2}+p_{z}^{2}\right] +e\phi _{0}\frac{\ln (\frac{r}{R})}{\ln ( \frac{a}{R})}=e\phi _{0}\end{aligned}\]

Obsérvese que en ese momento\(r=R,\) viene dada por la última ecuación ya que el hamiltoniano equivale a una constante\(e\phi _{0}\).\(p_{r}\) Es decir, suponiendo que\(a<<R\) entonces

\[p_{r}^{2}=2me\phi _{0}-(\frac{1}{2}eBR)^{2}\nonumber\]

Definir un campo magnético crítico mediante

\[B_{c}\equiv \frac{2}{R}\sqrt{\frac{2m\phi _{0}}{e}}\nonumber\]

entonces

\[\left( p_{r}^{2}\right) _{r=R}=\left( B_{c}^{2}-B^{2}\right) (\frac{1}{2} eR)^{2}\nonumber\]

Tenga en cuenta que si\(B<B_{c}\) entonces\(p_{r}\) es real en\(r=R\). Sin embargo, si\(B>B_{c}\) entonces\(p_{r}\) es imaginario al\(r=R\) implicar que debe haber un radio de órbita máximo\(r_{0}\) para el electrón donde\(r_{0}<R\). Es decir, las trayectorias de electrones están confinadas espacialmente a órbitas cilíndricas coaxiales concéntricas con los campos electromagnéticos del magnetrón. Estas trayectorias electrónicas cerradas excitan las cavidades de microondas ubicadas en la pared cilíndrica externa cercana del ánodo.