11.S: Fuerzas Centrales Conservadoras de dos cuerpos (Resumen)

Este capítulo se ha centrado en la mecánica clásica de los cuerpos que interactúan a través de interacciones conservadoras, bicorporales y centrales. A continuación se presentan los principales temas que se presentan en este capítulo.

Representación equivalente de un cuerpo para dos cuerpos que interactúan a través de una interacción central

La representación equivalente de un cuerpo del movimiento de dos cuerpos que interactúan a través de una interacción central de dos cuerpos simplifica enormemente la solución de las ecuaciones de movimiento. Los vectores de posición\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\) se expresan en términos del vector de centro de masa\(\mathbf{ R}\) más la masa total,\(M=m_{1}+m_{2}\) mientras que el vector de posición\(\mathbf{r}\), más la masa reducida asociada,\(\mu =\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}},\) describen el movimiento relativo de los dos cuerpos en el centro de masa. El Lagrangiano total luego se separa en dos partes independientes

\[L=\frac{1}{2}M\left\vert \mathbf{\dot{R}}\right\vert ^{2}+L_{cm} \label{11.16}\]

donde el centro de masa Lagrangiano es

\[L_{cm}=\frac{1}{2}\mu \left\vert \mathbf{\dot{r}}\right\vert ^{2}-U(r) \label{11.17}\]

Ecuaciones\((11.2.8)\), y\((11.2.9)\) pueden ser utilizadas para derivar las trayectorias espaciales reales de los dos cuerpos expresadas en términos de\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\), a partir de las ecuaciones relativas de movimiento, escritas en términos de\(\mathbf{R}\) y\(\mathbf{r}\), para la solución equivalente de un cuerpo.

Momento angular

El teorema de Noether muestra que el momento angular se conserva si solo una fuerza central de dos cuerpos esféricamente simétrica actúa entre los dos cuerpos que interactúan. El plano de movimiento es perpendicular al vector de momento angular y, por lo tanto, el Lagrangiano se puede expresar en coordenadas polares como\[L_{cm}=\frac{1}{2}\mu \left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\psi}^{2}\right) -U(r) \label{11.22}\]

Ecuación de movimiento de órbita diferencial

La transformación Binet\(u=\frac{1}{r}\) permite que el centro de masa Lagrangiano\(L_{cm}\) para una fuerza\(\mathbf{F=}f(r)\mathbf{\hat{r}}\) central se utilice para expresar la ecuación de órbita diferencial para el movimiento radial como

\[\frac{d^{2}u}{d\psi ^{2}}+u=-\frac{\mu }{l^{2}}\frac{1}{u^{2}}F(\frac{1}{u}) \label{11.39}\]

El lagrangiano y el hamiltoniano se utilizaron para derivar las ecuaciones de movimiento para dos cuerpos interactuando a través de una interacción central conservadora de dos cuerpos. Se presentaron las características generales de la conservación del momento angular y la conservación de energía para un potencial central de dos cuerpos.

Cuadrados inversos, dos cuerpos, fuerza central

La fuerza central cuadrada inversa, de dos cuerpos, es de importancia fundamental en la naturaleza, ya que se aplica tanto a la fuerza gravitacional como a la fuerza de Coulomb. Las simetrías subyacentes de la interacción central inverso-cuadrado, de dos cuerpos, conducen a la conservación del momento angular, la conservación de la energía, la ley de Gauss, y que las órbitas de dos cuerpos siguen órbitas cerradas, degeneradas, que son secciones cónicas, para lo cual se conserva el vector de excentricidad. La dependencia radial, relativa al centro de fuerza que se encuentra en un foco de la sección cónica, viene dada por

\[\frac{1}{r}=-\frac{\mu k}{l^{2}}\left[ 1+\epsilon \cos \left( \psi -\psi _{0}\right) \right] \label{11.58}\]

donde la excentricidad de la órbita\(\epsilon\) es igual

\[\epsilon =\sqrt{1+\frac{2E_{cm}l^{2}}{\mu k^{2}}} \label{11.62}\]

Estos conducen a las tres leyes de movimiento de Kepler para dos cuerpos en una órbita ligada debido a la atractiva fuerza gravitacional para la cual\(k=-Gm_{1}m_{2}\). La ley del cuadrado inverso es especial en que el vector de excentricidad\(\mathbf{A}\) es una tercera invariante del movimiento, donde

\[\mathbf{A\equiv }\left( \mathbf{p\times L}\right) \mathbf{+}\left( \mu k \mathbf{ \hat{r}}\right) \label{11.86}\]

El vector de excentricidad define inequívocamente la orientación y dirección del eje mayor de la órbita elíptica. La invarianza del vector de excentricidad, y la existencia de órbitas cerradas estables, son manifestaciones de la\(04\) simetría dinámica.

Isotrópico, armónico, de dos cuerpos, fuerza central

La interacción central isotrópica, armónica, de dos cuerpos, es de interés ya que, al igual que la fuerza de ley del cuadrado inverso, conduce a órbitas elípticas cerradas descritas por

\[\frac{1}{r^{2}}=\frac{E\mu }{p_{\psi }^{2}}\left( 1+\left( 1+\frac{kp_{\psi }^{2}}{E^{2}\mu }\right) ^{\frac{1}{2}}\cos 2(\psi -\psi _{0})\right) \label{11.107}\]

donde la excentricidad\(\epsilon\) viene dada por

\[\left( 1+\frac{kp_{\psi }^{2}}{E^{2}\mu }\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{ \epsilon ^{2}}{2-\epsilon ^{2}} \label{11.108}\]

Las órbitas de fuerza armónica son claramente diferentes de las de la ley del cuadrado inverso en que el centro de la fuerza está en el centro de la elipse, más que en el foco de la fuerza de la ley del cuadrado inverso. Esta órbita elíptica es simétrica de reflexión para la fuerza armónica, pero no para la fuerza cuadrada inversa. La fuerza armónica isotrópica de dos cuerpos conduce a la invarianza del tensor de simetría,\(\mathbf{A}^{\prime }\) que es una invariante del movimiento análogo al vector de excentricidad\(\mathbf{A}\). Esto conduce a órbitas cerradas estables, que son manifestaciones de la\(SU3\) simetría dinámica.

Estabilidad de órbita

El teorema de Bertrand afirma que solo la ley cuadrada inversa y las dependencias radiales lineales de las fuerzas centrales conducen a órbitas estables y cerradas que no preceden. Estas son manifestación de las simetrías dinámicas que ocurren para estas dos formas radiales específicas de fuerzas de dos cuerpos.

El problema de los tres cuerpos

Se discutieron las dificultades encontradas para resolver las ecuaciones de movimiento para tres cuerpos, que interactúan a través de fuerzas centrales de dos cuerpos. El movimiento de tres cuerpos puede incluir la existencia de movimiento caótico. Se demostró que la solución del problema de tres cuerpos se simplifica si es aplicable la aproximación plana, o la aproximación restringida de tres cuerpos.

Dispersión de dos cuerpos

Se introdujeron las secciones transversales de dispersión total y diferencial de dos cuerpos. Se demostró que para la fuerza de ley de cuadrado inverso existe una relación simple entre el parámetro de impacto\(b\) y el ángulo de dispersión\(\theta\) dada por

\[b=\frac{k}{2E_{cm}}\cot \frac{\theta }{2} \label{11.155}\]

Esto condujo a la solución para la sección transversal de dispersión diferencial para la dispersión de Rutherford debido a la interacción de Coulomb.

\[\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{1}{4}\left( \frac{k}{2E_{cm}}\right) ^{2} \frac{1}{\sin ^{4}\frac{\theta }{2}} \label{11.159}\]

Esta sección transversal supone una dispersión elástica por una fuerza central repulsiva de dos cuerpos inverso-cuadrado. Para la dispersión de núcleos en el potencial de Coulomb\(k\) se da la constante para ser\[k=\frac{Z_{p}Z_{T}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}} \label{11.160}\]

Cinemática de dos cuerpos

Se introdujo la transformación del marco de centro de impulso a marcos de referencia de laboratorio. Tales transformaciones se utilizan ampliamente en muchos campos de la física para el modelado teórico de la dispersión y para el análisis de datos de experimentos.