12.3: Marco de Referencia Giratorio
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Considere un marco de referencia giratorio que se designará como el marco de doble cebado (giratorio) para diferenciarlo del marco cebado no giratorio (móvil), ya que ambos pueden estar experimentando aceleración de traslación en relación con el marco no cebado fijo inercial como se describe en la Figura\(12.2.1\).
Derivadas de tiempo espacial en un marco de referencia giratorio, no traducible
Por simplicidad supongamos que\(\mathbf{R}_{fix} = \mathbf{V}_{fix} = 0\), es decir, el marco de referencia imprimado es estacionario e idéntico al marco fijo fijo no cebado. El marco de doble cebado (giratorio) es un marco no inercial que gira con respecto al origen del marco imprimado fijo.
\(19.4.2C\)El apéndice muestra que una rotación infinitesimal\(d\theta\) alrededor de un eje de rotación instantáneo conduce a un desplazamiento infinitossimal\(d\mathbf{r}^{R}\) donde
\[d\mathbf{r}^{R} = d \theta \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.7}\]
Considere que durante un tiempo\(dt\), el vector de posición en el marco de referencia cebado fijo se mueve por una distancia infinitossimal arbitraria\(d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}\). Como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\), esta distancia infinitossimal en el marco no giratorio imprimado se puede dividir en dos partes:
- \(d\mathbf{r}^{R} = d\theta \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}\)que se debe a la rotación del bastidor giratorio con respecto al marco imprimado de traslación.
- \((d\mathbf{r}^{\prime\prime}_{rot})\)que es el movimiento con respecto al marco giratorio (doble cebado).
Es decir, el movimiento se ha dividido arbitrariamente en una parte que se debe a la rotación del cuadro de doble cebado, más el desplazamiento vectorial medido en este cuadro giratorio (doble-cebado). Siempre es posible hacer tal descomposición del desplazamiento siempre y cuando la suma vectorial pueda escribirse como
\[d\mathbf{r}^{\prime}_{mov} = d\mathbf{r}^{\prime\prime}_{rot} + d\theta \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.8}\]
Desde\(d\theta = \omega dt\) entonces el diferencial de tiempo del desplazamiento, Ecuación\ ref {12.8}, puede escribirse como
\[\left( \frac{d\mathbf{r}^{\prime}}{dt}\right)_{mov} = \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime\prime}}{dt}\right)_{rot} + \omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.9}\]
La conclusión importante es que una velocidad medida en un marco de referencia no giratorio\(\left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}}{dt}\right)_{mov}\) puede expresarse como la suma de la velocidad\(\left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime\prime}}{dt}\right)_{rot}\), medida en relación con un marco giratorio, más el término\(\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}\) que da cuenta de la rotación del marco. La división del\(d\mathbf{r}^{\prime}_{rot}\) vector en dos partes, una parte debida a la rotación del marco más una parte con respecto al marco giratorio, es válida para cualquier vector como se muestra a continuación.
Vector general en un marco de referencia giratorio, no traducible
Considere un vector arbitrario\(\mathbf{G}\) que puede expresarse en términos de componentes a lo largo de la base vectorial de tres unidades\(\hat{\mathbf{e}}^{fix}_i\) en el marco inercial fijo como
\[\mathbf{G} = \sum^{3}_{i=1} G^{fix}_i \hat{\mathbf{e}}_i^{fix} \label{12.10}\]
Despreciando el movimiento de traslación, entonces se puede expresar en términos de los tres vectores unitarios en la base vectorial de unidad de trama giratoria no inercial\(\hat{\mathbf{e}}^{rot}_i\) como
\[\mathbf{G} = \sum^{3}_{i=1} (G_i)_{rot} \hat{\mathbf{e}}^{rot}_i \label{12.11}\]
Dado que los vectores de base unitaria\(\hat{\mathbf{e}}^{rot}_i\) son constantes en el marco giratorio, es decir,
\[\left(\frac{d\hat{\mathbf{e}}^{rot}_i}{dt}\right)_{rot} = 0 \label{12.12}\]
entonces las derivadas de tiempo\(\mathbf{G}\) en el sistema de coordenadas giratorias se\(\hat{\mathbf{e}}^{rot}_i\) pueden escribir como
\[\left(\frac{d\mathbf{G}}{dt}\right)_{rot} = \sum^3_{i-1} \left(\frac{dG_i}{dt}\right)_{rot} \hat{\mathbf{e}}^{rot}_i \label{12.13}\]
La derivada de tiempo de fotograma inercial tomada con componentes a lo largo de la base de coordenadas giratorias\(\hat{\mathbf{e}}^{rot}_i\), Ecuación\ ref {12.11}, es
\[\left(\frac{d\mathbf{G}}{dt}\right)_{fix} = \sum^3_{i-1} \left(\frac{dG_i}{dt}\right)_{rot} \hat{\mathbf{e}}^{rot}_i + (G_i)_{rot} \frac{d\hat{\mathbf{e}}^{rot}_i }{dt} \label{12.14}\]
Sustituir el vector unitario\(\hat{\mathbf{e}}^{rot}\) por\(\mathbf{r}^{\prime}_{mov}\) en la Ecuación\ ref {12.9}, más usando la Ecuación\ ref {12.12}, da que
\[\left(\frac{d\hat{\mathbf{e}}^{rot}}{dt}\right)_{fix} = \omega \times \hat{\mathbf{e}}^{rot} \label{12.15}\]
Sustituir esto en el segundo término de la Ecuación\ ref {12.14} da
\[\left(\frac{d\mathbf{G}}{dt}\right)_{fix} = \left(\frac{d\mathbf{G}}{dt}\right)_{rot} + \omega \times \mathbf{G} \label{12.16}\]
Esta importante identidad relaciona las derivadas de tiempo de cualquier vector expresado tanto en el marco inercial como en las bases rotativas del marco no inercial. Obsérvese que el\(\omega \times \mathbf{G}\) término se origina a partir del hecho de que los vectores de base unitarios del marco de referencia giratorio dependen del tiempo con respecto a los vectores de base de trama no rotativos según lo dado por la Ecuación\ ref {12.15}. La ecuación\ ref {12.16} se usa ampliamente para problemas relacionados con marcos giratorios. Por ejemplo, para el caso especial donde\(\mathbf{G} = \mathbf{r}^{\prime}\), entonces la Ecuación\ ref {12.16} relaciona los vectores de velocidad en los cuadros fijos y giratorios como se indica en la Ecuación\ ref {12.9}.
Otro ejemplo es el vector\(\mathbf{\dot{\omega}}\)
\[\mathbf{\dot{\omega}} = \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{fix} = \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{rot} + \omega \times \omega = \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{rot} = \mathbf{\dot{\omega}} \label{12.17}\]
Es decir, la aceleración angular\(\dot{\omega}\) tiene el mismo valor tanto en los marcos fijos como giratorios de referencia.