12.5: Ley del movimiento de Newton en un marco no inercial

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La aceleración del sistema en el marco inercial giratorio se puede derivar diferenciando la relación de velocidad general para\(\mathbf{v}\), Ecuación\(12.4.4\), en la base del marco fijo que da

\[\begin{align} \mathbf{a}_{fix} &= \left(\frac{d\mathbf{v}_{fix}}{dt}\right)_{fixed} \\[4pt] &= \left(\frac{d\mathbf{V}_{fix}}{dt}\right)_{fixed} + \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{fixed} + \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{fixed} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} + \omega \times \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}}{dt}\right)_{fixed} \label{12.22} \end{align}\]

Ahora queremos utilizar la transformación general a una base de trama giratoria que requiere la inclusión de la dependencia del tiempo de los vectores unitarios en el marco giratorio, es decir,

\[ \begin{align} \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{fixed} &= \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{rotating} + \omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} \label{12.23} \\[4pt] \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{fixed} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} &= \left(\frac{d\omega}{dt}\right)_{rot} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.24} \\[4pt] \omega \times \left(\frac{d\mathbf{r}^{\prime}_{mov}}{dt}\right)_{fixed} &= \omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) \label{12.25} \end{align}\]

Usando ecuaciones\ ref {12.23},\ ref {12.24},\ ref {12.25} da

\[ \mathbf{a}_{fix} = \mathbf{A}_{fix} + \mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) + \dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov} \label{12.26}\]

donde la aceleración en el marco giratorio es\(\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} = \left(\frac{d\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{rot}\) mientras la velocidad es\(\mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} = \left(\frac{\mathbf{r}^{\prime\prime}_{rot}}{dt}\right)_{rot}\) y\(\mathbf{A}_{fix}\) es con respecto al marco fijo.

Las leyes del movimiento de Newton son obedecidas en el marco inercial, es decir

\[ \begin{align} \mathbf{F}_{fix} &= m\mathbf{a}_{fix} \\[4pt] &= m(\mathbf{A}_{fix} + \mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) + \dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) \label{12.27} \end{align}\]

En el marco de doble cebado, que puede ser tanto giratorio como acelerado en la traslación, se puede atribuir una fuerza efectiva\(\mathbf{F}^{eff}_{rot}\) que obedece a una ley efectiva de Newton para la aceleración\(\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot}\) en el marco giratorio

\[\begin{align}\mathbf{F}^{eff}_{rot} &= m\mathbf{a}^{\prime\prime}_{rot} \\[4pt] &= \mathbf{F}_{fix} - m(\mathbf{A}_{fix} + 2\omega \times \mathbf{v}^{\prime\prime}_{rot} + \omega \times (\omega \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) + \dot{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}_{mov}) \label{12.28} \end{align}\]

Obsérvese que la fuerza efectiva\(\mathbf{F}^{eff}_{rot}\) comprende la fuerza física\(\mathbf{F}_{fixed}\) menos cuatro fuerzas no inerciales que se introducen para corregir el hecho de que el marco de referencia giratorio es un marco no inercial.