12.12: Sistemas meteorológicos

Los sistemas meteorológicos en la Tierra proporcionan un ejemplo clásico de movimiento en un sistema de coordenadas giratorias. En el hemisferio norte, el aire que fluye hacia una región de baja presión se desvía hacia la derecha provocando una circulación en sentido antihorario, mientras que el aire que fluye fuera de una región de alta presión se desvía hacia la derecha provocando una circulación en sentido horario. Los vientos alisios en la Tierra son el resultado del ascenso o hundimiento del aire debido a la actividad térmica combinada con el efecto Coriolis. Comportamiento similar se observa en otros planetas como la Mancha Roja en Júpiter.

Para un fluido o gas, la ecuación se \((12.6.8)\)puede escribir en términos de la densidad del fluido\(\rho\) en la forma

\[\rho \mathbf{a}" = −\boldsymbol{\nabla}P − \rho [2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}" − \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} )] \label{12.68}\]

donde se ignoran los\((\boldsymbol{\dot{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime})\) términos de aceleración\(\mathbf{A}\) traslacional, fuerza gravitacional y aceleración azimutal. La fuerza externa por unidad de volumen es igual al gradiente de presión\(−\boldsymbol{\nabla}P\) mientras que\(\boldsymbol{\omega}\) es el vector de rotación de la tierra.

En flujo de fluido, el número de Rossby\(R_o\) se define como

\[R_o = \frac{\text{inertial force}}{\text{Coriolis force}} \approx \frac{\mathbf{a}"}{ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}"} \]

Para grandes sistemas de presión dimensional en la atmósfera, por ejemplo\(L \simeq 1000\)\(km\), el número de Rossby es\(R_o \sim 0.1\) y así la fuerza de Coriolis domina y la aceleración radial puede ser descuidada. Esto conduce a una velocidad de flujo\(v \simeq 10\)\(m/s\) que es perpendicular al gradiente de presión\(\nabla P\), es decir, el aire fluye horizontalmente paralelo a las isobarras de presión constante que se denomina flujo geostrófico. Para sistemas de dimensiones mucho más pequeñas, como en la pared de un huracán,\(L \simeq 50\)\(km\), y\(v \simeq 50\)\(m/s\), el número de Rossby\(R_o \simeq 10\) y el efecto Coriolis juega un papel mucho menos significativo en comparación con el equilibrio entre las fuerzas centrífugas radiales y el gradiente de presión. La misma situación de las fuerzas de Coriolis siendo insignificantes ocurre para la mayoría de los vórtices de pequeña escala como tornados, vórtices térmicos típicos en la atmósfera, y para el agua que drena una tina de baño.

Sistemas de baja presión:

Es interesante analizar el movimiento del aire que circula alrededor de una región de baja presión en radios grandes donde el movimiento es tangencial. Como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), un paquete de aire que circula en sentido antihorario alrededor de la baja con velocidad\(v\) implica una diferencia de presión\(\Delta P\) que actúa sobre la superficie\(S\), más las fuerzas centrífugas y Coriolis. Suponiendo que estas fuerzas están equilibradas de tal manera que\(\mathbf{a}" \simeq 0\), entonces la Ecuación\ ref {12.68} simplifica a

\[\frac{v^2}{r} = \frac{1}{\rho} \nabla P - 2 v \omega \sin \lambda \]

donde la latitud\(\lambda = \pi −\theta \). Así se puede escribir la ecuación de fuerza

\[\frac{1}{\rho} \frac{dP}{dr} = \frac{v^2}{r} + 2v\omega \sin \lambda \]

Es evidente que la fuerza externa combinada de Coriolis más la fuerza centrífuga hacia afuera, actuando sobre el aire circulante, puede soportar un gran gradiente de presión.

Figura\(\PageIndex{1}\): Flujo de aire y presiones alrededor de una región de baja presión.

La velocidad tangencial se\(v\) puede obtener resolviendo esta ecuación para dar

\[v = \sqrt{(r\omega \sin \lambda )^2 + \frac{r}{\rho} \frac{dP}{dr}} - r\omega \sin \lambda\]

Tenga en cuenta que la velocidad es igual a cero cuando se\(r=0\) asume que\(\frac{dP}{dr}\) es finita. Es decir, la velocidad alcanza un máximo en un radio

\[r_{peakvel} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{\rho \omega \sin \lambda} \frac{dP}{dr} ) \]

que ocurre en la pared del ojo del sistema circulante de baja presión.

Figura\(\PageIndex{2}\): Huracán Katrina sobre el Golfo de México el 28 de agosto de 2005. [Publicado por la NOAA]

Las regiones de baja presión son producidas por el calentamiento del aire haciendo que suba y dando como resultado una entrada de aire para reemplazar el aire ascendente. Los huracanes se forman sobre el agua tibia cuando la temperatura supera los 26\(^{\circ}\)\(C\) y los niveles de humedad están por encima del promedio. Se crean en latitudes entre 10\(^{\circ}\) −15\(^{\circ}\) donde el mar es más cálido, pero no más cerca del ecuador donde la fuerza Coriolis cae a cero. Alrededor del 90% del calentamiento del aire proviene del calor latente de vaporización debido al aumento del aire húmedo cálido que se condensa en gotas de agua en la nube similar a lo que ocurre en las tormentas eléctricas. Para los huracanes en el hemisferio norte, el aire circula en sentido antihorario hacia adentro. Cerca de la pared del ojo del huracán, el aire se eleva rápidamente a grandes altitudes en las que luego fluye en sentido horario y hacia afuera y posteriormente de regreso hacia abajo en los tramos exteriores del huracán. Tanto la velocidad del viento como la presión son bajas dentro del ojo, lo que puede estar libre de nubes. Los vientos más fuertes se encuentran en vórtice que rodea el ojo del huracán, mientras que los vientos débiles existen en el vórtice contrarrotativo de aire que se hunde que ocurre lejos del huracán.

En la figura se\(\PageIndex{2}\) muestra la imagen satelital del huracán Katrina, registrado el 28 de agosto de 2005. El ojo del huracán es fácilmente evidente en esta imagen. La presión central fue de 90200\(N/m^2\) (902\(mb\)) en comparación con la presión atmosférica estándar de 101300\(N/m^2\) (1013\(mb\)). Esta diferencia de 111\(mb\) presiones produjo vientos constantes en Katrina de 280\(km/hr\) (175\(mph\)) con rachas de hasta 344\(km/hr\) lo que resultó en 1833 muertes.

Los tornados son otro ejemplo de un sistema vórtice de baja presión que son el extremo opuesto tanto en tamaño como en duración en comparación con un huracán. Los tornados pueden durar solo\(\sim 10\) minutos y ser bastante pequeños en radio. Se\(mb\) han registrado caídas de presión de hasta 100, pero como pueden ser de solo unos 100 metros de diámetro, el gradiente de presión puede ser mucho mayor que para los huracanes que conducen a vientos localizados que se cree que se acercan a 500\(km/hr\). Desafortunadamente, la instrumentación y los edificios golpeados por un tornado a menudo se destruyen dificultando el estudio. Tenga en cuenta que el gradiente de presión en el diámetro pequeño de los tornados de cuerda es mucho más destructivo que para los tornados de 1/4 de milla de diámetro más grandes, lo que resulta en vientos más fuertes.

Sistemas de alta presión:

A diferencia de los sistemas de baja presión, los sistemas de alta presión son muy diferentes en que la fuerza de Coriolis apunta hacia adentro enfrentándose al gradiente de presión exterior y la fuerza centrífuga. Es decir,

\[\frac{v^2}{r} = 2v\omega \sin \lambda − \frac{1}{\rho} \frac{dP}{dr} \]

lo que da que

\[v= r\omega \sin \lambda − \sqrt{(r\omega \sin \lambda )^2 − \frac{r}{\rho} \frac{dP}{dr}} \]

Esto implica que el gradiente de presión máximo más la fuerza centrífuga soportada por la fuerza de Coriolis es

\[\frac{r}{\rho} \frac{dP}{dr} \leq (r\omega \sin \lambda )^2 \]

Como consecuencia, las regiones de alta presión tienden a tener gradientes de presión débiles y vientos ligeros en contraste con los grandes gradientes de presión más los vientos dañinos concomitantes posibles para los sistemas de baja presión.

El comportamiento de circulación, exhibido por patrones climáticos, también se aplica a las corrientes oceánicas y otros flujos de líquidos en la tierra. Sin embargo, el momento angular residual del líquido a menudo puede superar los términos de Coriolis. Así, a menudo se encontrará experimentalmente que el agua que sale de la bañera no circula en sentido antihorario en el hemisferio norte como lo predijo la fuerza Coriolis. Esto se debe a que originalmente no era estacionario, sino que giraba lentamente.

La predicción confiable del clima es una tarea extremadamente difícil, complicada y desafiante, que es de considerable importancia en la vida moderna. Como se discute en el capítulo\(16.8\), el flujo de fluido puede ser mucho más complicado de lo que se supone en esta discusión sobre el flujo de aire y el clima Tanto el flujo turbulento como el laminar son posibles. Como consecuencia, las simulaciones informáticas de fenómenos meteorológicos son difíciles porque el flujo de aire puede ser turbulento y la transición del orden al flujo caótico es muy sensible a las condiciones iniciales. Por lo general, el flujo de aire puede involucrar tanto estructuras coherentes ordenadas macroscópicas en un amplio rango dinámico de dimensiones, coexistiendo con regiones caóticas. Las simulaciones informáticas del flujo de fluido a menudo se realizan basadas en la mecánica lagrangiana para explotar las propiedades escalares del lagrangiano. Las estructuras coherentes ordenadas, que van desde burbujas microscópicas hasta huracanes, pueden reconocerse explotando a los exponentes de Lyapunov para identificar el movimiento ordenado enterrado en el caos subyacente. Así, las técnicas discutidas en la mecánica clásica son de considerable importancia fuera de la física.