18.3: Hamiltoniano en la Teoría Cuántica

Representación matriz-mecánica de Heisenberg

La representación algebraica de Heisenberg de la teoría cuántica es análoga a la representación algebraica hamiltoniana de la mecánica clásica, y muestra mejor cómo la teoría cuántica evolucionó y se relaciona con la mecánica clásica. Heisenberg decidió ignorar las teorías conceptuales prevalecientes, como la mecánica clásica, y basó su teoría cuántica en observables. Este enfoque estuvo influenciado por el éxito de la teoría cuántica más antigua de Bohr y la teoría de la relatividad de Einstein. Abandonó las nociones clásicas de que las variables canónicas\(p_k, q_k\) pueden medirse directa y simultáneamente. En segundo lugar, deseaba absorber el principio de correspondencia directamente en la teoría en lugar de ser un procedimiento ad hoc adaptado a cada aplicación. Heisenberg consideró la descomposición de Fourier de amplitudes de transición entre estados discretos y encontró que el producto de las variables conjugadas no conmutan. Heisenberg derivó, por primera vez, los niveles de energía correctos del oscilador armónico unidimensional como\(E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2})\) lo que fue un logro significativo. Born reconoció que las extrañas reglas de multiplicación y conmutación de Heisenberg para dos variables, correspondían al álgebra matricial. Antes de 1925, el álgebra matricial era una rama oscura de la matemática pura no conocida o utilizada por la comunidad de física. Heisenberg, Born, y el joven matemático Jordan, desarrollaron las reglas de conmutación de la mecánica matricial. El enfoque de Heisenberg representa las coordenadas clásicas de posición e impulso\(q, p\) por matrices\(\mathbf{q}\) y\(\mathbf{p}\), con elementos de matriz correspondientes\(q_{mn}e^{i\omega_{mn}t}\) y\(p_{mn}e^{i\omega_{mn}t}\). Nacido demostró que el rastro de la matriz

\[H(\mathbf{pq}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{q}}−L \label{18.10}\]

da la función hamiltoniana\(H(\mathbf{p}, \mathbf{q})\) de las matrices\(\mathbf{q}\) y\(\mathbf{p}\) que conduce a las ecuaciones canónicas de Hamilton

\[\mathbf{\dot{q}}= \frac{\partial H }{\partial \mathbf{p}} \quad \mathbf{\dot{p}} =−\frac{\partial H }{\partial \mathbf{q}} \label{18.11}\]

Heisenberg y Born también demostraron que el conmutador de\(\mathbf{q}, \mathbf{p}\) iguales

\[q_kp_l − p_lq_k = i\hbar \delta_{kl} \label{18.12} \\ q_kq_l − q_lq_k = 0 \\ p_kp_l − p_lp_k = 0 \]

Born se dio cuenta de que la Ecuación\ ref {18.12} es la única ecuación fundamental para\(\hbar\) introducir en la teoría de una manera lógica y consistente.

Capítulo\(15.2.4\) discutió la correspondencia formal entre el corchete de Poisson, definido en el capítulo\(15.3\), y el conmutador en la mecánica clásica. Se demostró que el conmutador de dos funciones equivale a un factor\(\lambda\) multiplicativo constante multiplicado por el correspondiente Bracket de Poisson. Eso es

\[(F_jG_k − G_kF_j ) = \lambda \{F_j , G_k\} \label{18.13}\]

donde el factor multiplicativo\(\lambda\) es un número independiente de\(F_j , G_k\), y el conmutador.

En 1925, Paul Dirac, un estudiante graduado de 23 años en Bristol, reconoció la importancia crucial de la correspondencia anterior entre el conmutador y el soporte de Poisson de dos funciones, para relacionar la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Dirac señaló que si a la constante\(\lambda\) se le asigna el valor\(\lambda = i\hbar \), entonces la Ecuación\ ref {18.13} relaciona directamente las relaciones de conmutación de Heisenberg entre las variables\((q_j , p_k)\) canónicas fundamentales con el correspondiente Bracket de Poisson clásico\(\{q_j , p_k\}\). Es decir,

\[q_kp_l − p_lq_k = i\hbar \{q_k, p_l\} = i\hbar \delta_{kl} \label{18.14}\]

\[q_kq_l − q_lq_k = i\hbar \{q_k, q_l\}=0 \label{18.15}\]

\[p_kp_l − p_lp_k = i\hbar \{p_k, p_l\}=0 \label{18.16}\]

Dirac reconoció que la correspondencia entre el corchete clásico de Poisson y el conmutador cuántico, dada por la Ecuación\ ref {18.13}, proporciona una manera lógica y consistente que construye la cuantificación directamente en la teoría, en lugar de usar una hipótesis ad-hoc, dependiente de casos, como la utilizada por el cuántico más antiguo teoría de Bohr. La base del principio de cuantificación de Dirac, implica reemplazar el clásico Bracket de Poisson,\(\{F_j , G_k\}\) por el conmutador,\(\frac{1}{ i\hbar } (F_j, G_k − G_kF_j )\). Es decir,

\[\{F_j , G_k\} \Longrightarrow \frac{1}{i\hbar} (F_jG_k − G_kF_j ) \label{18.17}\]

Las ecuaciones canónicas de Hamilton, tal como se introducen en el capítulo\(15\), solo son aplicables a la mecánica clásica ya que asumen que la posición exacta y el momento conjugado pueden especificarse tanto de manera exacta como simultánea, lo que contradice el Principio de Incertidumbre de Heisenberg. Por el contrario, la generalización del corchete de Poisson de las ecuaciones de Hamilton permite variables no transitorias más el principio de incertidumbre correspondiente. Es decir, la transformación de la mecánica clásica a la mecánica cuántica se puede lograr simplemente reemplazando el Bracket de Poisson clásico por el conmutador cuántico, como lo propone Dirac. La analogía formal entre la mecánica hamiltoniana clásica y la representación de Heisenberg de la mecánica cuántica es sorprendentemente evidente utilizando la correspondencia entre la representación de Poisson Bracket de la mecánica hamiltoniana y la mecánica matricial de Heisenberg.

La relación directa entre el conmutador cuántico, y el correspondiente Bracket de Poisson clásico, se aplica a muchos observables. Por ejemplo, los análogos cuánticos de las ecuaciones de movimiento de Hamilton se dan mediante el uso de las ecuaciones de movimiento de Hamilton,\((15.2.42)\),\((15.2.45)\), y reemplazando cada Bracket de Poisson por el conmutador correspondiente. Eso es

\[\frac{dq_k}{ dt} = \frac{\partial H }{\partial p_k} = \{q_k, H\} = \frac{1}{i\hbar} (q_kH − Hq_k) \label{18.18}\]

\[\frac{dp_k }{dt} = −\frac{\partial H }{\partial q_k } = \{p_k, H\} = \frac{1}{i\hbar} (p_kH − Hp_k) \label{18.19}\]

En el capítulo\(15.2.5\) se discutió la dependencia temporal de los observables en la mecánica hamiltoniana. La ecuación\((15.2.34)\) dio la derivada del tiempo total de cualquier observable\(G\) para ser

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \{G, H\} \label{18.20}\]

La ecuación\ ref {18.17} se puede utilizar para reemplazar el Bracket de Poisson por el conmutador cuántico, lo que da la dependencia temporal correspondiente de los observables en la física cuántica.

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} (GH − HG) \label{18.21}\]

En mecánica cuántica, la Ecuación\ ref {18.21} se llama la ecuación de Heisenberg. Obsérvese que si lo observable\(G\) se elige para ser una variable canónica fundamental, entonces\(\frac{\partial q_k}{ \partial t} =0= \frac{\partial p_k}{ \partial t}\) y la ecuación se\((15.2.9)\) reduce a las ecuaciones de Hamilton\ ref {18.18} y\ ref {18.19}.

Las analogías entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica se extienden aún más. Por ejemplo, si\(G\) es una constante de movimiento, es decir\(\frac{dG}{dt} = 0\), entonces la ecuación de movimiento de Heisenberg da

\[\frac{\partial G}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} (GH − HG)=0 \label{18.22}\]

Además, si no\(G\) es una función explícita del tiempo, entonces

\[0 = \frac{1}{i\hbar} (GH − HG) \label{18.23}\]

Es decir, la transición a la física cuántica muestra que, si\(G\) es una constante de movimiento, y no depende explícitamente del tiempo,\(G\) entonces se desplaza con el hamiltoniano\(H\).

La discusión anterior ha ilustrado la estrecha y hermosa correspondencia entre la representación de Poisson Bracket de la mecánica hamiltoniana clásica y la representación de Heisenberg de la mecánica cuántica. Dirac proporcionó el principio de correspondencia elegante y simple que conecta la representación del soporte de Poisson de la mecánica hamiltoniana clásica, con la representación de Heisenberg de la mecánica cuántica.

Representación mecánica de olas de Schrödinger

La formulación mecánica de olas de la mecánica cuántica, por el teórico austriaco Schrödinger, se construyó sobre el concepto de dualidad onda-partícula que fue propuesto en 1924 por Louis de Broglie. Schrödinger desarrolló su representación mecánica de ondas de la física cuántica un año después del desarrollo de la mecánica matricial por Heisenberg y Born. La ecuación de onda de Schrödinger se basa en la representación no relativista de Hamilton-Jacobi de una ecuación de onda, fusionada con el formalismo operador de Born y Wiener. El Schrödinger, de 39 años, era un experto en mecánica clásica y teoría de olas, lo que fue invaluable cuando desarrolló la importante ecuación de Schrödinger. Como se menciona en el capítulo\(15.4.4\), la teoría Hamilton-Jacobi es un formalismo de la mecánica clásica que permite que el movimiento de una partícula sea representado por una onda. Es decir, los frentes de onda son superficies de acción constante\(S\), y los momentos de partículas son normales a estas superficies de acción constante, es decir,\(\mathbf{p} = \boldsymbol{\nabla}S\). La dualidad onda-partícula de la teoría Hamilton-Jacobi es una forma natural de manejar la dualidad onda-partícula propuesta por de Broglie.

Consideremos la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi para un cuerpo, dada por\ ref {18.20}.

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H(\mathbf{q},\boldsymbol{\nabla}S,t)=0 \label{18.24}\]

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces la ecuación\((15.4.2)\) da que

\[\frac{\partial S}{\partial t} = −H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = −E (\boldsymbol{\alpha}) \label{18.25}\]

La integración de la dependencia del tiempo es trivial, y así la acción integral para un hamiltoniano independiente del tiempo es

\[S(\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha},t) = W (\mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha}) − E (\boldsymbol{\alpha})t \label{18.26}\]

Una transformación formal da

\[E = −\frac{\partial S}{\partial t} \qquad \mathbf{p} = \boldsymbol{\nabla}S \label{18.27}\]

Considera que el hamiltoniano clásico independiente del tiempo, para el movimiento de una sola partícula, está representado por la ecuación de Hamilton-Jacobi.

\[H = \frac{\mathbf{p}^2}{ 2\mu } + U(q) = −\frac{\partial S}{\partial t} \label{18.28}\]

Sustituto de\(\mathbf{p}\) lleva a la relación clásica Hamilton-Jacobi en términos de la acción\(S\)

\[\frac{1}{ 2\mu } (\boldsymbol{\nabla}S \cdot \boldsymbol{\nabla}S) + U(q) = −\frac{\partial S}{\partial t} \label{18.29}\]

Por analogía con la ecuación de Hamilton-Jacobi, Schrödinger propuso la ecuación del operador cuántico

\[i\hbar \frac{ \partial \psi}{ \partial t} = \hat{H}\psi \label{18.30}\]

donde\(\hat{H}\) es un operador dado por

\[\hat{H} = − \frac{\hbar^2 }{2\mu} \nabla^2 + U(r) \label{18.31}\]

En 1926, Max Born y Norbert Wiener introdujeron el formalismo operador en la mecánica matricial para la predicción de observables y esto se ha convertido en una parte integral de la teoría cuántica. En el formalismo operador, los observables están representados por operadores que proyectan el observable correspondiente a partir de la función de onda. Es decir, el formalismo del operador cuántico para el impulso asumido y los operadores energéticos, que operan sobre la función de onda\(\psi \), son

\[p_j = \frac{\hbar}{ i} \frac{\partial}{ \partial q_j} \quad E = −\frac{\hbar}{ i} \frac{\partial}{ \partial t} \label{18.32}\]

Transformaciones formales de\(\mathbf{p}\) y\(E\) en el hamiltoniano\ ref {18.26} conduce a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

\[− \frac{\hbar^2}{ 2\mu} \frac{ \partial^2\psi}{ \partial q^2} + U(q)\psi = E\psi \label{18.33}\]

Supongamos que la función de onda es de la forma

\[\psi = Ae^{\frac{ iS}{ \hbar}} \label{18.34}\]

donde la acción\(S\) da la fase del frente de onda, y\(A\) la amplitud de la onda, como se describe en el capítulo\(15.4.4\). La dependencia del tiempo, que caracteriza el movimiento del frente de onda, está contenida en la dependencia del tiempo de\(S\). Esta forma para la función de onda tiene la ventaja de que la función de onda frecuentemente influye en un producto de términos, por ejemplo,\(\psi = R(r)\Theta (\theta ) \Phi (\phi )\) que corresponde a una suma de los exponentes\(S = W_r + W_{\theta} + W_{\phi} − Et\). Esta forma de suma es explotada por separación de las variables, como se discute en el capítulo\(15.4.3\).

Insertar\(\psi\) definido por\ ref {18.34} en la Ecuación\ ref {18.33}, más usando el hecho de que

\[\frac{\partial^2\psi}{ \partial q^2} = \frac{\partial}{ \partial q} \left( \frac{\partial \psi}{ \partial S} \frac{\partial S}{ \partial q} \right) = \frac{\partial}{ \partial q} \left( \frac{i}{ \hbar} \psi \frac{ \partial S }{\partial q} \right) = − \frac{1}{ \hbar^2} \psi \left( \frac{\partial S}{ \partial q } \right)^2 + \frac{i}{ \hbar} \psi \frac{ \partial^2S}{ \partial q^2} \label{18.35}\]

lleva a

\[−\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{ 2\mu} (\boldsymbol{\nabla}S \cdot \boldsymbol{\nabla}S) + U(q) − \frac{i\hbar}{ 2\mu} \nabla^2S = E \label{18.36}\]

Tenga en cuenta que si la constante de Planck\(\hbar = 0\), entonces el término imaginario en la Ecuación\ ref {18.36} es cero, lo que lleva a que\ ref {18.36} sea real, e idéntico al resultado de Hamilton-Jacobi, Ecuación\ ref {18.29}. El hecho de que la Ecuación\ ref {18.35} sea igual a la ecuación de Hamilton-Jacobi en el límite\(\hbar \rightarrow 0\), ilustra la estrecha analogía entre la dualidad de partículas de onda de la teoría clásica de Hamilton-Jacobi, y la dualidad onda-partícula de de Broglie en la representación cuántica de la mecánica de onda de Schrödinger.

El enfoque de Schrödinger fue aceptado en 1925 y explotado extensamente con tremendo éxito, ya que es mucho más fácil de entender conceptualmente que el enfoque algebraico de Heisenberg. Inicialmente hubo mucho conflicto entre los proponentes de estos dos enfoques contradictorios, pero esto fue resuelto por Schrödinger quien demostró en 1926 que existe una identidad matemática formal entre la mecánica de ondas y la mecánica matricial. Es decir, estas dos representaciones cuánticas de la mecánica hamiltoniana son equivalentes, a pesar de que están construidas sobre la representación de corchetes de Poisson, o la representación Hamilton-Jacobi. La mecánica de las olas se basa íntimamente en la regla de cuantificación de la variable de acción. El principio de incertidumbre de Heisenberg se satisface automáticamente por la mecánica de olas de Schrödinger, ya que el principio de incertidumbre es una característica de todo el movimiento de las olas, como se describe en el capítulo\(3\).

En 1928 Dirac desarrolló una ecuación de onda relativista que incluye el espín como parte integral. Esta ecuación de Dirac sigue siendo la ecuación de onda fundamental de la mecánica cuántica. Desafortunadamente es difícil de aplicar.

Hoy en día, la poderosa y eficiente representación de Heisenberg es el enfoque dominante utilizado en el campo de la física, mientras que los químicos tienden a preferir el enfoque más intuitivo de la mecánica de ondas Schrödinger. En cualquier caso, el importante papel de la mecánica hamiltoniana en la teoría cuántica es innegable.