5: El giro y la estructura fina

Objetivos

En este capítulo recordamos las evidencias experimentales de la existencia del espín en la física atómica. El giro es un concepto genuinamente mecánico cuántico, a pesar de que el término giro recuerda al hilado clásico.

La fina estructura del espectro se observó ya a principios del siglo XX, pero para explicar teóricamente su origen, era necesario un tratamiento relativista del electrón.

Prerrequisitos

Momento magnético y su conexión con el momento angular. La fuerza y energía de un bucle de corriente o un momento magnético en un campo magnético externo. Capítulo 3.

El experimento Stern-Gerlach y el giro

Animación

Esta página web ofrece una explicación de giro de dos palabras. Echa un vistazo a la pestaña de giro con un video animado que muestra conceptos básicos de giro. También puedes encontrar alguna información adicional sobre la aplicación del spin en la tecnología.

http://www.toutestquantique.fr

El experimento de Stern y Gerlach, realizado en 1921, tenía la intención de observar el momento magnético de los átomos. Como se sabe, un impulso magnético surge de los bucles de corriente, o de cargas que circulan en órbitas cerradas, y todavía se considera cierto, que un momento magnético de una partícula o un sistema es siempre proporcional a su momento angular. La hipótesis de que el magnetismo macroscópico también es consecuencia de corrientes atómicas circulares microscópicas se origina en Ampère.

Por lo tanto, el experimento se pretendía investigar también el momento angular de los átomos. Stern y Gerlach utilizaron átomos de plata, que se evaporaron de un horno luego después de colimar y mezclar hendiduras obtuvieron un haz atómico, el cual pasó a través de un campo magnético no homogéneo. El campo de los imanes especialmente formados era tal que apuntaba principalmente a una dirección, que esta fuera la dirección z. Stern y Gerlach experimentaron que el campo provocó una división del haz atómico viajando originalmente digamos en la dirección yy, en dos haces, desviándose en dirección de\(\mathbf{z}\) y\(-\mathbf{z}\). Los átomos de plata son eléctricamente neutros, por lo tanto la flexión de los átomos no podría atribuirse a la fuerza magnética de Lorentz, y en realidad no existe tal efecto si el campo magnético es homogéneo. El motivo de la desviación fue que los átomos poseían un momento dipolar magnético, por lo que se comportaban como una aguja magnética, o una pequeña bobina y por lo tanto el campo magnético actuaba sobre ellos por la fuerza\(\mathbf{F}=-\operatorname{grad}(\mathbf{m} \mathbf{B})\), que tenía predominantemente un componente z\(F_{z}=-\mathfrak{m}_{z} \frac{\partial B_{z}}{\partial z}\), como se conocía por electromagnetismo . Vemos que\(\frac{\partial B_{z}}{\partial z} \neq 0\) es decir, la falta de homogeneidad es necesaria para que aparezca la fuerza. Esta fuerza es la razón por la cual los átomos de plata se desvían de su dirección original, y la cantidad de desviación debe ser proporcional a la componente z de la fuerza.

Figura 5.1: Configuración experimental del experimento Stern-Gerlach.
http://en.Wikipedia.org/wiki/File:Stern-Gerlach_experiment.PNG

Animación

El clásico Experimento Stern-Gerlach muestra que los átomos tienen una propiedad llamada espín. El giro es una especie de momento angular intrínseco, que no tiene contraparte clásica. Cuando se mide el componente z del giro, siempre se obtiene uno de dos valores: spin up o spin down.

http://phet.colorado.edu/en/simulation/stern-gerlach

Podemos pensar que los diferentes átomos que llegan a la región de interacción tienen todas las direcciones posibles de su momento magnético, y por lo tanto los átomos se desvían en varias direcciones dependiendo de su\(\mathfrak{m}_{z}\), y se obtiene una distribución continua de dirección de desviación. Como no fue así, y solo se observaron dos direcciones definitivamente distintas, esto demostró que debió haber habido una especie de cuantificación de la dirección del momento magnético del átomo, y como se suponía también en el momento angular del átomo, que era la razón del magnetismo en partículas que consisten en constituyentes cargados. La cuantificación del momento angular ya se conocía en cierta medida, pero sólo se predijo un número impar de posibilidades. Según A. Sommerfeld quien ya extendió el viejo modelo cuántico de Bohr en ese momento, el número cuántico\(ℓ\) existía y en caso de\(ℓ=1\), las tres posibilidades del número cuántico magnético:\(m=0,±1\) se esperaba, en lugar de las dos observadas. Lo que era aún peor, ya se sabía por la espectroscopia de Ag, que su estado fundamental es un estado ss con\(ℓ=0\), por lo que el electrón no tiene momento angular orbital, y por lo tanto tampoco se espera impulso magnético.

Figura 5.2:

Al final resultó que unos años después, la división se debió a un nuevo grado de libertad de las partículas atómicas, a saber, el giro, que es el momento angular intrínseco de las partículas, no conectado con su movimiento en el espacio, más bien es una especie de rotación de la propia partícula, como el giro de una bola. Si bien hay fuertes argumentos de que esta simple imagen no puede ser válida, todavía se puede visualizar el giro de una partícula de esa manera. El descubrimiento sí provino de la espectroscopia, S. Goudsmit y G. Uhlenbeck, los jóvenes estudiantes de P. Ehrenfest en Leiden reconocieron en 1926 que el espectro fino del átomo H puede explicarse si se asume que el electrón posee este momento angular intrínseco, y

\(\mathfrak{m}=\gamma \mathbf{S}\)(5.1)

donde\(\mathbf{S}\) está el momento angular mecánico, que — si se mide en cierto, digamos la dirección z — puede tomar sólo los dos valores posibles\(ℏ/2\) y\(−ℏ/2\). Esto explicó el resultado del experimento de Stern Gerlach, donde solo el electrón de valencia tiene impulso angular, y es un momento de giro, los momentos angulares de todos los demás electrones suman cero.

En vista de la teoría del momento angular en la mecánica cuántica esto significa que el operador\(S_{z}\) tiene solo dos autoestados y autovalores, con\(m_{s}=\frac{1}{2}\), y\(m_{s}=-\frac{1}{2}\), correspondientes a los dos autovalores discretos:

\(S_{z} \chi^{+}=\frac{\hbar}{2} \chi^{+}, \quad S_{z} \chi^{-}=-\frac{\hbar}{2} \chi^{-}\)(5.2)

El número cuántico que caracteriza el momento angular total (correspondiente a\(ℓ\)) se denota aquí por s, y de la analogía con la teoría del momento angular se obtiene que\(s=\frac{1}{2}\)\(m_{s}=-\frac{1}{2}\), como\(m_{s}=\frac{1}{2}\) o, y para el valor propio de\(\mathbf{S}^{2}\) tenemos\(s(s+1)\):

\(\mathbf{S}^{2} \chi^{\pm}=\hbar^{2} s(s+1) \chi^{\pm}=\hbar^{2} \frac{3}{4} \chi^{\pm}\)(5.3)

Experimento de Einstein de Haas

Figura 5.3: Esquema y configuración real del experimento Einstein-de-Haas.
http://www.techniklexikon.net/d/einstein-de-haas-versuch/einstein-de-haas-versuch.htm
http://www.histodid.uni-oldenburg.de/forschung/aktuelles.htm

Este fue el único experimento realizado por A. Einstein, y lo hizo en colaboración con W. J. de Haas en 1914. En el aparato se suspendió una varilla cilíndrica de hierro sobre una rosca de torsión. La magnetización de la varilla se logró mediante una bobina que rodeaba la varilla con corriente adentro. Dejar pasar la corriente a través de la bobina provocó que el cilindro girara un pequeño ángulo. La rotación se midió por reflexión de luz de un espejo fijado a la muestra. El efecto puede explicarse teóricamente por el hecho de que los momentos magnéticos de los átomos del hierro, al estar orientados en la dirección del campo magnético externo, provocan un cambio en los momentos mecánicos atómicos; el momento magnético M de un átomo es proporcional al angular resultante momento J, es decir\(M=\gamma J\), dónde\(\gamma\) está la relación giromagnética. Sobre la base de la ley de conservación del momento angular, el momento angular total de un cuerpo debe permanecer sin cambios, y tras la magnetización el cuerpo adquiere por lo tanto un impulso angular (muy pequeño en magnitud) que es inverso con respecto al eje de magnetización.

Como sabemos ahora que el momento angular orbital de los electrones en hierro es cero, la razón es el giro. Como se sabe de la electrodinámica clásica, en el caso de una corriente circular el coeficiente entre el momento magnético y angular es

\(\mathfrak{m}=\frac{q}{2 m} \mathbf{L}\)(5.4)

Curiosamente en el caso del momento angular de giro el coeficiente que da el momento magnético es dos veces

\(\mathfrak{m}=\frac{q}{m} \mathbf{S}\)(5.5)

Animación

Einstein había contemplado durante mucho tiempo la conjetura de Ampère en 1820 de que el magnetismo es causado por la circulación de la carga eléctrica. Esta demostración describe una versión tecnológicamente actualizada del experimento original de Einstein—de Haas. La corriente es lo suficientemente grande como para crear un campo magnético lo suficientemente fuerte como para saturar la magnetización del cilindro en cualquier dirección. Si Ampère tenía razón, esto debería crear un desplazamiento angular del imán.

http://demonstrations.wolfram.com/EinsteinDeHaasEffect/

Acoplamiento de órbita de giro y estructura fina

La derivación de los niveles de energía para el potencial de Coulomb se basó en la ecuación de Schrödinger, la cual no contenía espín. En realidad, existen pequeñas correcciones a la estructura de niveles, debido al llamado acoplamiento espín-órbita. Esto conduce a una fina estructura del espectro, que se pudo observar ya a principios del siglo XX antes del advenimiento de la mecánica cuántica moderna. La formulación exacta de cómo el espín y los momentos angulares se acoplan entre sí es un problema matemático difícil, y requiere un tratamiento relativista del electrón. Por lo tanto, explicamos aquí este efecto mediante argumentos que agitan la mano.

En el sistema de coordenadas del electrón que circula alrededor del núcleo el protón se mueve alrededor del electrón por lo tanto además del campo eléctrico debe haber también un campo magnético. Según la ley Biot-Savart, o más generalmente de\((\left.\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{J}\right)\) la ley de Ampère, el campo que emerge del movimiento del protón es

\(\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{Z q_{0}}{m_{0}} \frac{\mathbf{L}}{r^{3}}\)(5.6)

Este campo magnético también interactúa con el momento magnético intrínseco del electrón, derivado de su espín, y provoca un cambio de energía adicional\(\Delta E=-\mathfrak{m} \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{Z q_{0}^{2}}{m_{0}} \frac{\mathbf{s} \cdot \mathbf{L}}{r^{3}}\). Volviendo al marco de laboratorio, al resto del marco del protón, un factor adicional de\(1/2\) surge esto se debe a un efecto llamado Thomas precesión, y su razón es el movimiento circular de los dos marcos uno con respecto al otro. El resultado de la interacción espín-órbita es un cambio de energía

\(\Delta E=-\mathfrak{m} \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{Z q_{0}^{2}}{2 m_{0}} \frac{\mathbf{S} \cdot \mathbf{L}}{r^{3}}=\frac{Z e_{0}^{2}}{2 m_{0} c^{2}} \frac{\mathbf{S} \cdot \mathbf{L}}{r^{3}}\)(5.7)

donde la última igualdad proviene de la definición\(e_{0}^{2}=q_{0}^{2} / 4 \pi \epsilon_{0}\) y\(\epsilon_{0} \mu_{0}=c^{-2}\). Observamos nuevamente que este resultado se puede deducir estrictamente de la ecuación mecánica cuántica relativista del electrón, la famosa ecuación de Dirac, que no consideraremos aquí. El producto del operador se\(\mathbf{S} \cdot \mathbf{L}\) puede calcular de la siguiente manera. Primero, se define el momento angular total:

\(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\)(5.8)

que es una cantidad conservada en un campo central, a diferencia\(\mathbf{L}\) o\(\mathbf{S}\) por separado. Cuadramos esta suma y obtenemos

\(\mathbf{J}^{2}=(\mathbf{L}+\mathbf{S})^{2}=\mathbf{L}^{2}+\mathbf{S}^{2}+2 \mathbf{L S}\)(5.9)

como\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{S}\) son operadores de desplazamiento. Entonces

\(\mathbf{L S}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{J}^{2}-\mathbf{L}^{2}-\mathbf{S}^{2}\right)\)(5.10)

Como los vectores propios del operador Hamilton son vectores propios de los tres operadores\(\mathbf{J}^{2}\), y\(\mathbf{L}^{2}\), con los valores propios\(\hbar^{2} j(j+1), \hbar^{2} l(l+1), \hbar^{2} s(s+1)\) respectivos\(\mathbf{S}^{2}\), la corrección de energía debida a la interacción de la órbita de espín es

\(\Delta E=\frac{\beta}{2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))\)(5.11)

donde la fuerza de acoplamiento de espín-órbita viene dada por

\(\beta=\frac{Z e_{0}^{2}}{2 m_{0} c^{2}} \frac{\hbar^{2}}{r^{3}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{Z q_{0}^{2}}{2 m_{0}} \frac{\hbar^{2}}{r^{3}}\)(5.12)

Si queremos encontrar explícitamente el efecto de este término tenemos que calcular su valor de expectativa en un estado\(ψ_{nlm}\). Para ello, tenemos que calcular la siguiente integral con las funciones propias\(\psi_{n l m}(\mathbf{r})=\frac{u_{n l}(r)}{r} Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)\)

\(\int \psi_{n l m}^{*}(\mathbf{r}) \frac{1}{r^{3}} \psi_{n l m}(\mathbf{r}) d^{3} \mathbf{r}=\int_{0}^{\infty} \frac{u_{n l}^{2}(r)}{r^{2}} \frac{1}{r^{3}} r^{2} d r=\int_{0}^{\infty} \frac{u_{n l}^{2}(r)}{r^{3}} d r\)(5.13)

con las funciones radiales\(u_{nl}(r)\) determinadas en la sección anterior. La integración con respecto a las variables angulares da unidad, en vista de la normalización de los armónicos esféricos. La integración se puede hacer usando las propiedades de los polinomios de Laguerre, o por algunos otros trucos y arroja el resultado\(\frac{2 Z^{3}}{a_{0}^{3} n^{3} l(l+1)(2 l+1)}\) que da

\(\beta(n, l)=\frac{Z^{4} e_{0}^{2}}{2 m_{0} c^{2}} \hbar^{2} \frac{1}{a_{0}^{3} n^{3} l(l+1 / 2)(l+1)}\)(5.14)

Otra contribución a la estructura fina del átomo H proviene de la corrección relativista a la energía cinética. En la relatividad la energía cinética de una partícula es

\(E_{k i n}=\sqrt{m_{0}^{2} c^{4}+c^{2} p^{2}}-m_{0} c^{2}=m_{0} c^{2} \sqrt{1+\frac{p^{2}}{m_{0}^{2} c^{2}}}-m_{0} c^{2} \approx \frac{p^{2}}{2 m_{0}}-\frac{p^{4}}{8 c^{2} m_{0}^{3}}\)(5.15)

donde la aproximación es válida hasta segundo orden en\(p/m_{0}c\). El primer término es la energía cinética no relativista ordinaria, mientras que el segundo es la corrección. Ahora —como es costumbre en la mecánica cuántica nosotros— consideramos este término como un operador, y calculamos su valor de expectativa en los\(ψ_{nlm}(\mathbf{r})\) estados. Para ello aplicamos el operador\(P^{4}=\hbar^{4} \Delta^{2}=\hbar^{4} \nabla^{4}\) y calculamos

\(\Delta E_{r}=-\frac{\hbar^{4}}{8 c^{2} m_{0}^{3}} \int \psi_{n l m}^{*}(\mathbf{r}) \nabla^{4} \psi_{n l m}(\mathbf{r}) d^{3} \mathbf{r}=-E_{n r} \frac{Z^{2} \alpha^{2}}{n}\left(\frac{3}{4 n}-\frac{1}{l+1 / 2}\right)\)(5.16)

Aquí α es la constante de estructura fina introducida por A. Sommerfeld

\(\alpha=\frac{q_{0}^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{\hbar c}=\frac{e_{0}^{2}}{\hbar c}=7.297 \times 10^{-3}=\frac{1}{137}\)(5.17)

que es una cantidad adimensional, desempeñando un papel importante en la física atómica y en la electrodinámica cuántica.

Para obtener la corrección total hay que sumar los dos términos rindiendo

\(E_{n j}=E_{n}\left[1+\frac{Z^{2} \alpha^{2}}{n}\left(\frac{1}{j+1 / 2}-\frac{3}{4 n}\right)\right]\)(5.18)

Es importante destacar que el mismo resultado se obtiene de la teoría relativista exacta de Dirac en segundo orden en\(p/m_{0}c\).

Como resultado la energía del estado fundamental del átomo H, donde\(n=1\),\(j=1/2\) se baja por\(\), y un desplazamiento similar es válido para todos los estados ss. Adicionalmente existe una división con respecto al resultado no relativista, provocando la estructura fina en las líneas observadas. Es decir, para un ll dado uno tiene dos j -s posibles,\(j=l+1/2\) y\(j=l−1/2\), a excepción de\(l=0\). La división entre los\(2p_{3/2}\) y los\(2p_{1/2}\) niveles es\(\Delta E=4.6 \times 10^{-6} \mathrm{eV}\). Correspondiente a una diferencia en el número de onda\(\Delta \bar{\nu}=0.37 \mathrm{~cm}^{-1}\).

Animación

Podemos investigar los niveles relativistas de energía para el átomo de hidrógeno con esta animación interactiva. La constante de estructura fina se puede cambiar conceptualmente de 0 a su valor real, o equivalentemente la velocidad de la luz c de ∞ a 1 (significado\(3 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)), para mostrar la transición de energías no relativistas a relativistas para números cuánticos\(n=1,2 \text { and } 3\).

http://demonstrations.wolfram.com/RelativisticEnergyLevelsForHydrogenAtom/

Estructura hiperfina

Una investigación espectroscópica más refinada reveló que incluso los componentes de estructura fina del átomo de H se dividen en dos subcomponentes y se observó una estructura de doblete similar en varios otros átomos. Resultó, que esta división se debió a la interacción del momento magnético del núcleo, y los electrones.

En el caso del átomo H la imagen simple es la siguiente. El protón tiene un momento magnético igual que el electrón. Si los dos momentos magnéticos son antiparalelos, entonces aparece una atracción magnética por lo que la energía será menor que para los momentos paralelos. Entonces estas dos posibilidades conducen a una división adicional del estado\(1s\) fundamental, y una división más pequeña de otros estados, también.

Figura 5.4: La jerarquía de los desplazamientos energéticos de los espectros de átomos similares a hidrógeno como resultado de correcciones relativistas. La primera columna muestra el espectro primario. La segunda columna muestra la estructura fina a partir de correcciones relativistas. La tercera columna incluye correcciones por electrodinámica cuántica y la cuarta columna incluye términos de interacción con espín nuclear La línea H- α, particularmente importante en la astronomía, se muestra en rojo