2.9: Partículas
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En este libro, vamos a concentrarnos, casi exclusivamente, en el comportamiento de partículas no relativistas de masa distinta de cero (e.g., electrones). En ausencia de fuerzas externas, tales partículas, de masa\(m\)\(E\), energía e impulso\(p\), se mueven clásicamente en línea recta con velocidad
\[\label{e2.31} v = \frac{p}{m},\]y satisfacer
Partículas cuánticas
Así como las ondas de luz a veces exhiben propiedades similares a partículas, resulta que las partículas masivas a veces exhiben propiedades similares a las de las ondas. Por ejemplo, es posible obtener un patrón de interferencia de doble hendidura a partir de una corriente de electrones mono-energéticos que pasan a través de dos ranuras estrechas muy espaciadas. La longitud de onda efectiva de los electrones se puede determinar midiendo el ancho de las bandas de luz y oscuridad en el patrón de interferencia. [Ver Ecuación (2.7.6).] Se encuentra que
\[\label{e2.33} \lambda = \frac{h}{p}.\]La misma relación se encuentra para otros tipos de partículas. La longitud de onda anterior se llama la longitud de onda de Broglie, después de Louis de Broglie, quien primero sugirió que las partículas deberían tener propiedades onduladas en 1923. Tenga en cuenta que la longitud de onda de Broglie es generalmente muy pequeña. Por ejemplo, la de un electrón es\[\lambda_e = 1.2\times 10^{-9}\,[E({\rm eV})]^{-1/2}\,{\rm m},\] donde la energía electrónica se mide convenientemente en unidades de electrón-voltios (eV). (Un electrón acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 1000 V adquiere una energía de 1000 eV, y así sucesivamente). La longitud de onda de Broglie de un protón es\[\lambda_p = 2.9\times 10^{-11}\,[E({\rm eV})]^{-1/2}\,{\rm m}.\]
Dada la pequeñez de las longitudes de onda de Broglie de las partículas comunes, en realidad es bastante difícil realizar experimentos de interferencia de partículas. En general, para realizar un experimento de interferencia efectivo, el espaciamiento de las rendijas no debe ser demasiado mayor que la longitud de onda de la onda. Por lo tanto, los experimentos de interferencia de partículas requieren partículas de muy baja energía (porque\(\lambda\propto E^{\,-1/2}\)), o ranuras muy espaciadas. Por lo general, las “rendijas” consisten en cristales, que actúan un poco como rejillas de difracción con un espaciado característico de orden el espaciado interatómico (que generalmente es de aproximadamente\(10^{-9}\) m).
La ecuación (2.9.3) se puede reorganizar para dar
\[\label{e2.36} p = \hbar\,k,\]que es exactamente la misma que la relación entre el impulso y el número de onda que obtuvimos antes para los fotones. [Ver Ecuación ([e2.19b]).] Para el caso de una partícula que mueve las tres dimensiones, la relación anterior se generaliza para dar\[{\bf p} = \hbar\,{\bf k},\] dónde\({\bf p}\) está el momento del vector de la partícula, y\({\bf k}\) su evector de ondas. De ello se deduce que el impulso de una partícula cuántica, y, por lo tanto, su velocidad, es siempre paralelo a su oleaje.
Debido a que la relación ([e2.19b]) entre el momento y el número de onda se aplica tanto a los fotones como a las partículas masivas, parece plausible que la relación estrechamente relacionada (2.6.1) entre la energía y la frecuencia angular de onda también se aplique tanto a los fotones como a las partículas. Si este es el caso, y podemos escribir\[E = \hbar\,\omega\] para ondas de partículas, entonces las Ecuaciones (2.9.2) y (2.9.6) producen la siguiente relación de dispersión para tales ondas:
\[\label{e2.38} \omega = \frac{\hbar\,k^{\,2}}{2\,m}.\]Vimos antes que una onda plana se propaga a la llamada velocidad de fase,
\[\label{epha} v_p = \frac{\omega}{k}.\]Sin embargo, de acuerdo con la relación de dispersión anterior, una onda plano-onda de partícula se propaga en\[v_p = \frac{p}{2\,m}.\] Note, a partir de la Ecuación (2.9.1), que ésta es solo la mitad de la velocidad clásica de las partículas. ¿Implica esto que la relación de dispersión (2.9.9) es incorrecta? Investiguemos más a fondo.
Colaboradores y Atribuciones
Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)