3.6: Representación de impulso

El teorema de Fourier (ver Sección [s2.9]), aplicado a las funciones de onda unidimensionales, rinde\[\begin{aligned} \psi(x,t) &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k,t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,k\,x}\,dk,\\[0.5ex] \bar{\psi}(k,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \psi(x,t)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k\,x}\,dx,\end{aligned}\] donde\(k\) representa el número de onda. Sin embargo,\(p=\hbar\,k\). De ahí que también podamos escribir \[\begin{aligned} \label{e3.64} \psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(p,t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,p\,x/\hbar}\,dp,\\[0.5ex] \phi(p,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \psi(x,t)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,p\,x/\hbar}\,dx,\label{e3.65}\end{aligned}\]dónde\(\phi(p,t)= \bar{\psi}(k,t)/\sqrt{\hbar}\) está el momento-espacio equivalente a la función de onda del espacio real\(\psi(x,t)\).

En esta etapa, es conveniente introducir una función útil llamada delta-function Dirac. Esta función, denotada\(\delta(x)\), fue ideada por primera vez por Paul Dirac, y tiene las siguientes propiedades bastante inusuales:\(\delta(x)\) es cero para\(x\neq 0\), y es infinito en\(x=0\). No obstante, la singularidad en\(x=0\) es tal que \[\label{e3.64a} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1.\]La función delta es un ejemplo de lo que se conoce como una función generalizada: es decir, su valor no está bien definido en absoluto\(x\), pero su integral está bien definida. Considerar la integral\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(x)\,dx.\] Porque\(\delta(x)\) es solo distinto de cero infinitesimalmente cercano a\(x=0\), podemos reemplazar con seguridad\(f(x)\) por\(f(0)\) en la integral anterior (asumiendo que\(f(x)\) se comporta bien en\(x=0\)), para dar\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(x)\,dx = f(0)\,\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx=f(0),\] donde se ha hecho uso de la Ecuación ( [e3.64a]). Una simple generalización de este resultado arroja \[\label{e3.69} \int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = f(x_0),\]lo que también se puede considerar como una definición alternativa de una función delta.

Supongamos que\(\psi(x) = \delta(x-x_0)\). De las ecuaciones ([e3.65]) y ([e3.69]) se desprende que

\ begin {ecuación}\ phi (p) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-i p x_ {0}/\ hbar}} {\ sqrt {2\ pi\ hbar}}\ end {ecuación}

Por lo tanto, la Ecuación ([e3.64]) arroja el resultado importante\[\delta(x-x_0)= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{+{\rm i}\,p\,(x-x_0)/\hbar}\,dp.\] Del mismo modo, \[\label{e3.72} \delta(p-p_0)= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p_0)\,x/\hbar}\,dx.\]

Resulta que podemos formular la mecánica cuántica con la misma facilidad usando la función de onda momento-espacio,\(\phi(p,t)\), como la función de onda del espacio real,\(\psi(x,t)\). El esquema anterior se conoce como la representación de impulso de la mecánica cuántica. En la representación de momento, las funciones de onda son las transformadas de Fourier de las funciones de onda equivalentes del espacio real, y las variables dinámicas están representadas por diferentes operadores. Además, por analogía con la ecuación ([e3.55]), el valor de expectativa de algún operador\(O(p)\) toma la forma \[\label{e4.55a} \langle O\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\phi^\ast(p,t)\,O(p)\,\phi(p,t)\,dp.\]

Considera el impulso. Podemos escribir\[\begin{aligned} \langle p\rangle& = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast(x,t)\left(-{\rm i}\,\hbar\, \frac{\partial}{\partial x}\right)\psi(x,t)\,dx \nonumber\\[0.5ex]&= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\,p\,{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\,dx\,dp\,dp',\end{aligned}\] donde se ha hecho uso de la Ecuación ([e3.64]). Sin embargo, de la Ecuación ([e3.72]) se deduce que\[\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\,p\,\delta(p-p')\,dp\,dp'.\] Por lo tanto, usando la Ecuación ([e3.69]), obtenemos\[\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\phi^\ast(p,t)\,p\,\phi(p,t)\,dp = \int_{-\infty}^{\infty}p\,|\phi|^{\,2}\,dp.\] Evidentemente, el impulso es representado por el operador\(p\) en la representación de impulso. La expresión anterior también sugiere fuertemente [por comparación con la ecuación ([e3.22])] que\(|\phi(p,t)|^{\,2}\) puede interpretarse como la densidad de probabilidad de una medición de impulso que produce el valor\(p\) en el momento\(t\). De ello se deduce que\(\phi(p,t)\) debe cumplir una condición de normalización análoga a la Ecuación ([e3.4]): es decir, \[\label{enormp} \int_{-\infty}^{\infty} |\phi(p,t)|^{\,2}\,dp = 1.\]

Considera el desplazamiento. Podemos escribir\[\begin{aligned} \langle x\rangle& = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast(x,t)\,x\,\psi(x,t)\,dx \\[0.5ex]&=\frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\left(-{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\right){\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\,dx\,dp\,dp'.\nonumber\end{aligned}\] Integración por partes rendimientos\[\langle x\rangle= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\right)\phi(p,t)\,dx\,dp\,dp'.\] Por lo tanto, haciendo uso de las Ecuaciones ([e3.72]) y ([e3.69]), obtenemos\[\langle x\rangle= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p) \left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\right)\phi(p)\,dp.\] Evidentemente, el desplazamiento es representado por el operador\[x\equiv{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\] en la representación de impulso.

Por último, consideremos la normalización de la función ondamomento-espacio\(\phi(p,t)\). Tenemos\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast(x,t)\,\psi(x,t)\,dx = \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\,dx\,dp\,dp'.\] Así, se deduce de las Ecuaciones ([e3.69]) y ([e3.72]) que \[\label{e3.83} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^{\,2}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}|\phi(p,t)|^{\,2}\,dp.\]Por lo tanto, si\(\psi(x,t)\) se normaliza correctamente [ver Ecuación ([e3.4])] entonces\(\phi(p,t)\), como se define en la Ecuación ([e3.65]), también se normaliza adecuadamente [ ver Ecuación ([enormp])].

La existencia de la representación del impulso ilustra un punto importante. A saber, hay muchas formas diferentes, pero totalmente equivalentes, de formular matemáticamente la mecánica cuántica. Por ejemplo, también es posible representar las funciones de onda como vectores de fila y columna, y las variables dinámicas como matrices que actúan sobre estos vectores.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)