4.1: Pozo Potencial Infinito

Consideremos una partícula de masa\(m\) y energía\(E\) moviéndose en el siguiente potencial simple:\[V(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0&\hspace{1cm}&\mbox{for }0\leq x\leq a\\[0.5ex] \infty&&\mbox{otherwise} \end{array}\right..\] De la Ecuación ([e5.2]) se deduce que si\(d^{\,2}\psi/d x^{\,2}\) (y, por lo tanto,\(\psi\)) va a permanecer finito entonces\(\psi\) debe ir a cero en regiones donde el potencial es infinito. De ahí,\(\psi=0\) en las regiones\(x\leq 0\) y\(x\geq a\). Evidentemente, el problema es equivalente al de una partícula atrapada en una caja unidimensional de longitud\(a\). Las condiciones límite\(\psi\) en la región\(0<x<a\) son \[\label{e5.4} \psi(0) = \psi(a) = 0.\]Además, se desprende de la Ecuación ([e5.2]) que\(\psi\) satisface \[\label{e5.5} \frac{d^{\,2} \psi}{d x^{\,2}} = - k^{\,2}\,\psi\]en esta región, donde \[\label{e5.6} k^{\,2} = \frac{2\,m\,E}{\hbar^{\,2}}.\]Aquí, estamos asumiendo que\(E>0\). Se demuestra fácilmente que no hay soluciones con las\(E<0\) que sean capaces de satisfacer las condiciones límite ([e5.4]).

La solución a la Ecuación ([e5.5]), sujeta a las condiciones límite ([e5.4]), es\[\psi_n(x) = A_n\,\sin(k_n\,x),\] donde las constantes\(A_n\) son arbitrarias (reales), y

\[\label{e5.8} k_n = \frac{n\,\pi}{a},\]para\(n=1,2,3,\cdots\). Ahora bien, se puede ver a partir de las Ecuaciones ([e5.6]) y ([e5.8]) que la energía solo\(E\) está permitida para tomar ciertos valores discretos: es decir, \[\label{eenergy} E_n = \frac{n^{\,2}\,\pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{2\,m\,a^{\,2}}.\]

En otras palabras, los valores propios del operador energético son discretos. Esta es una característica general de las soluciones acotadas: es decir, soluciones para las cuales\(|\psi|\rightarrow 0\) como\(|x|\rightarrow\infty\). De acuerdo con la discusión en la Sección [sstat], esperamos que las funciones propias\(\psi_n(x)\) estacionarias satisfagan la restricción de ortonormalidad

\[\int_0^a \psi_n(x)\,\psi_m(x)\,dx = \delta_{nm}.\]Se demuestra fácilmente que este es el caso, siempre y cuando sea\(A_n = \sqrt{2/a}\). Por lo tanto,

\[\label{e5.11} \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\,\sin\left(n\,\pi\,\frac{x}{a}\right)\]para\(n=1,2,3,\cdots\).

Finalmente, nuevamente desde la Sección [sstat], la solución general dependiente del tiempo puede escribirse como una superposición lineal de soluciones estacionarias:

\[\psi(x,t) = \sum_{n=0,\infty} c_n\,\psi_n(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E_n\,t/\hbar},\]donde

\[\label{e5.13} c_n = \int_0^a\psi_n(x)\,\psi(x,0)\,dx.\]

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)